Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=x-yx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial parcial e precisa verificar se a função satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e depois ver se, ao substituir na equação, ela é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a função que define em termos de e . Ou seja, . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = partialpartial x ( x - yx + y ) em relação a , que é . Para isso, tratamos e como constantes e diferenciamos em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
partial wpartial x = (1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = x + y - x + y(x + y)^2 = 2y(x + y)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = partialpartial y ( x - yx + y ) em relação a , que é :

Passo 6

Novamente, aplicando a regra do quociente:
partial wpartial y = (-1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = -x - y - x + y(x + y)^2 = -2x(x + y)^2

Passo 7

Como partial wpartial z = 1 , a derivada parcial de em relação a é simplesmente:

Passo 8

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 2y(x + y)^2 + -2x(x + y)^2 + 1
Simplificando:
2y - 2x(x + y)^2 + 1 = 2(y - x)(x + y)^2 + 1

Passo 9

Para que a função satisfaça a equação, essa soma precisa ser igual a zero:
2(y - x)(x + y)^2 + 1 = 0
Resolvendo:
2(y - x)(x + y)^2 = -1 Rightarrow 2(y - x) = - (x + y)^2
Essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de e , o que significa que a função não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A função não satisfaz a equação diferencial .

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