Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial parcial
e precisa verificar se a função
satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois ver se, ao substituir na equação, ela é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a função que define
em termos de
e
. Ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
e
como constantes e diferenciamos
em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 6
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Como
, a derivada parcial de
em relação a
é simplesmente:
Passo 8
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 9
Para que a função satisfaça a equação, essa soma precisa ser igual a zero:
Resolvendo:
Essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de
e
, o que significa que a função não satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A função
não satisfaz a equação diferencial
.