Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear do tipo
, definida para
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método do fator integrante. Esse método é muito útil para resolver equações lineares de primeira ordem, e a gente vai ver como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação que correspondem à forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
. No nosso caso:
Essas funções vão nos ajudar a encontrar o fator integrante necessário para resolver a equação.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fator integrante, que é uma função
que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
, a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração para o fator integrante, temos:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando os termos:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Vamos verificar isso:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos calcular a integral à direita:
Usando a técnica de integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar separando os termos:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.