Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(h) y' + y / (x ln x) = 1, x > 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear do tipo , definida para . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método do fator integrante. Esse método é muito útil para resolver equações lineares de primeira ordem, e a gente vai ver como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação que correspondem à forma padrão das equações lineares de primeira ordem: . No nosso caso:
Essas funções vão nos ajudar a encontrar o fator integrante necessário para resolver a equação.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular a integral de :
Fazendo a substituição , então , a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração para o fator integrante, temos:

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando os termos:

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Vamos verificar isso:
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos calcular a integral à direita:
Usando a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar separando os termos:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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