Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
w=x+y+zx^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0 e precisa verificar se a função w = x + y + zx^2 + y^2 + z^2 satisfaz essa equação. Isso envolve calcular as derivadas parciais de w em relação a cada variável ( x, y, z) e somar elas pra ver se dá zero. Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a x. A função w é um quociente, então vamos aplicar a regra do quociente:
partial wpartial x = (1)(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)(2x)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2 + z^2) - 2x(x + y + z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2 - 2xy - 2xz = -x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz
Então:
partial wpartial x = -x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a y. Ainda usando a regra do quociente:
partial wpartial y = (1)(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)(2y)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2 + z^2) - 2y(x + y + z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2y^2 - 2yz = x^2 - y^2 + z^2 - 2xy - 2yz
Então:
partial wpartial y = x^2 - y^2 + z^2 - 2xy - 2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a z:
partial wpartial z = (1)(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)(2z)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2 + z^2) - 2z(x + y + z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xz - 2yz - 2z^2 = x^2 + y^2 - z^2 - 2xz - 2yz
Então:
partial wpartial z = x^2 + y^2 - z^2 - 2xz - 2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 5

Agora, vamos somar as três derivadas parciais que calculamos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = -x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xzD + x^2 - y^2 + z^2 - 2xy - 2yzD + x^2 + y^2 - z^2 - 2xz - 2yzD
Onde D = (x^2 + y^2 + z^2)^2.
Somando os numeradores:
(-x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz) + (x^2 - y^2 + z^2 - 2xy - 2yz) + (x^2 + y^2 - z^2 - 2xz - 2yz)
Simplificando:
(-x^2 + x^2 + x^2) + (y^2 - y^2 + y^2) + (z^2 + z^2 - z^2) - 2xy - 2xy - 2xz - 2xz - 2yz - 2yz
x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 4xz - 4yz
Então, a soma das derivadas é:
x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 4xz - 4yz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Resposta

A soma das derivadas parciais não é igual a zero, ou seja, partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z neq 0. Portanto, a função w = x + y + zx^2 + y^2 + z^2 não satisfaz a equação dada.

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