Seja
Phi(k)=e^-ab(k-k0)^2
use a transformada de Fourier para encontrar Psi(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a função Psi(x) aplicando a transformada de Fourier na função Phi(k) = e^-ab(k - k0)^2. Aqui, estamos lidando com transformadas de Fourier e funções gaussianas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier em funções exponenciais quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função Phi(k) é dada por:
Psi(x) = integral-infty^infty Phi(k) e^ikx , dk
Isso significa que vamos integrar a função Phi(k) multiplicada por e^ikx em relação a k de -infty a infty.

Passo 3

Agora, vamos substituir Phi(k) na expressão da transformada de Fourier:
Psi(x) = integral-infty^infty e^-ab(k - k0)^2 e^ikx , dk
Podemos combinar os expoentes para simplificar a expressão. Lembrando que e^A cdot e^B = e^A + B:
Psi(x) = integral-infty^infty e^-ab(k - k0)^2 + ikx , dk

Passo 4

Vamos reorganizar o expoente para completar o quadrado. O objetivo é escrever a expressão da forma $ -C(k - D)^2 + E $, facilitando a integração. Primeiro, juntamos os termos quadráticos e lineares:
-C(k - D)^2 + E
Para completar o quadrado, ajustamos os termos dentro do expoente:
-ab(k - k0)^2 + ikx = -ab[(k - k0)^2 - ibxa(k - k0)]
Então, a integral fica:
-ab(k - k0 - ibx2a)^2 + b x^24a

Passo 5

Agora, reconhecemos que a integral é uma integral gaussiana padrão, que tem a solução:
integral-infty^infty e^-C(k - D)^2 , dk = raizpiC
No nosso caso, C = ab, então a integral se torna:
raizpi ba

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de Psi(x):
Psi(x) = e^b x^24a cdot raizpi ba cdot e^-ik0 x
Podemos reescrever isso como:
Psi(x) = raizpi ba , e^-ik0 x , e^b x^24a

Resposta

A transformada de Fourier de Phi(k) = e^-ab(k - k0)^2 é:
Psi(x) = raizpi ba , e^-ik0 x , e^b x^24a

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