Seja
use a transformada de Fourier para encontrar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a função
aplicando a transformada de Fourier na função
. Aqui, estamos lidando com transformadas de Fourier e funções gaussianas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier em funções exponenciais quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Isso significa que vamos integrar a função
multiplicada por
em relação a
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão da transformada de Fourier:
Podemos combinar os expoentes para simplificar a expressão. Lembrando que
:
Passo 4
Vamos reorganizar o expoente para completar o quadrado. O objetivo é escrever a expressão da forma $ -C(k - D)^2 + E $, facilitando a integração. Primeiro, juntamos os termos quadráticos e lineares:
Para completar o quadrado, ajustamos os termos dentro do expoente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, reconhecemos que a integral é uma integral gaussiana padrão, que tem a solução:
No nosso caso,
, então a integral se torna:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A transformada de Fourier de
é: