Seja p2(x) o polinômio que interpola uma função f(x) que vale f(2) = 4.69, f(2.1) = 5.15, e f(2.2) = 5.62. Encontre p2(2.15).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um polinômio de grau 2, chamado p2(x), que “interpola” a função f(x). Isso quer dizer que o polinômio passa exatamente pelos pontos dados: , e . Nosso objetivo é descobrir qual é esse polinômio e depois calcular o valor de p2(2.15). Para resolver isso, vamos usar a interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interpolação polinomial. Basicamente, é um jeito de encontrar um polinômio que passe por um conjunto de pontos específicos. No nosso caso, temos três pontos, então precisamos de um polinômio de segundo grau (quadrático). A fórmula de Lagrange nos ajuda a construir esse polinômio de maneira sistemática.

Passo 3

A fórmula do polinômio de Lagrange para três pontos é:
Onde , , e são os pontos dados.

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
  • ,
  • ,
  • ,
Agora, substituímos esses valores na fórmula de Lagrange:

Passo 5

Vamos calcular os denominadores:
  • Para o primeiro termo:
    • Denominador:
  • Para o segundo termo:
    • Denominador:
  • Para o terceiro termo:
    • Denominador:

Passo 6

Substituindo os denominadores calculados na expressão do p2(x):
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então:

Passo 7

Agora, vamos expandir cada multiplicação:
Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Vamos distribuir os coeficientes:
Calculando cada parte:

Passo 9

Agora, somamos tudo junto:
Calculando cada grupo:
Então:
Ou simplificando:

Passo 10

Porém, percebemos que algo não bateu, já que esperamos um polinômio de segundo grau. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos ajustar utilizando uma abordagem mais simples, interpolando diretamente.

Passo 11

Vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador.
Primeiro, organizamos os pontos:
ç
Calculamos as diferenças divididas:
  • Primeira diferença:
  • Segunda diferença:

Passo 12

Agora, o polinômio interpolador de Newton fica:
Substituindo os valores:

Passo 13

Agora, substituímos :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 14

Calculando:
Somando tudo:

Resposta

Portanto, .

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