Considere a função ,
(a) Determine os polinômios de Lagrange , e ; e depois escreva, na forma de Lagrange, o polinômio que interpola nos pontos .
Ao redigir a resposta, não substitua , apenas utilize as propriedades usuais de exponenciais e logaritmos para simplificar. Você não precisa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os polinômios de Lagrange , e . Depois, vamos montar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a teoria dos polinômios de Lagrange, que serve para aproximar funções passando por pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Lagrange. Para pontos, cada polinômio é dado por:
No nosso caso, temos três pontos (), então vamos calcular , e individualmente.
Passo 3
Vamos calcular . Aqui, , então , e os outros pontos são e . Substituindo na fórmula:
Simplificando os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos calcular com e :
Simplificando os denominadores:
Passo 5
Por fim, vamos calcular com e :
Simplificando os denominadores:
Passo 6
Agora que temos , e , podemos construir o polinômio de interpolação usando a fórmula:
Primeiro, precisamos calcular , e .
Passo 7
Calculando com :
Calculando com :
Calculando com :
Passo 8
Substituindo , e na expressão do polinômio :
Agora, substituímos os que calculamos anteriormente.
Passo 9
Vamos montar o polinômio completo substituindo os :
Esse é o polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa pelos três pontos dados.
Resposta
O polinômio de interpolação de Lagrange que interpola a função nos pontos , e é: