Considere a função f(x) = (x + 1) ln(x + 1) - x + 2,
(a) Determine os polinômios de Lagrange L0(x)=..., L1(x)=..., e L2(x)=...; e depois escreva, na forma de Lagrange, o polinômio p2(x) que interpola f nos pontos x0 = 0, x1 = e/2 - 1, x2 = e - 1.
Ao redigir a resposta, não substitua e = 2.71..., apenas utilize as propriedades usuais de exponenciais e logaritmos para simplificar. Você não precisa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os polinômios de Lagrange , e . Depois, vamos montar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a teoria dos polinômios de Lagrange, que serve para aproximar funções passando por pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Lagrange. Para pontos, cada polinômio é dado por:
No nosso caso, temos três pontos ( ), então vamos calcular , e individualmente.

Passo 3

Vamos calcular . Aqui, , então , e os outros pontos são e . Substituindo na fórmula:
Simplificando os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos calcular com e :
Simplificando os denominadores:

Passo 5

Por fim, vamos calcular com e :
Simplificando os denominadores:

Passo 6

Agora que temos , e , podemos construir o polinômio de interpolação usando a fórmula:
Primeiro, precisamos calcular , e .

Passo 7

Calculando com :
Calculando com :
Calculando com :

Passo 8

Substituindo , e na expressão do polinômio :
Agora, substituímos os que calculamos anteriormente.

Passo 9

Vamos montar o polinômio completo substituindo os :
Esse é o polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa pelos três pontos dados.

Resposta

O polinômio de interpolação de Lagrange que interpola a função nos pontos , e é:

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