Considere a função
,
(a) Determine os polinômios de Lagrange
, e
; e depois escreva, na forma de Lagrange, o polinômio
que interpola
nos pontos
.
Ao redigir a resposta, não substitua
, apenas utilize as propriedades usuais de exponenciais e logaritmos para simplificar. Você não precisa
(a) Determine os polinômios de Lagrange
Ao redigir a resposta, não substitua
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os polinômios de Lagrange
,
e
. Depois, vamos montar o polinômio de interpolação
que passa pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar a teoria dos polinômios de Lagrange, que serve para aproximar funções passando por pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Lagrange. Para
pontos, cada polinômio
é dado por:
No nosso caso, temos três pontos (
), então vamos calcular
,
e
individualmente.
Passo 3
Vamos calcular
. Aqui,
, então
, e os outros pontos são
e
. Substituindo na fórmula:
Simplificando os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
com
e
:
Simplificando os denominadores:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
com
e
:
Simplificando os denominadores:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos construir o polinômio de interpolação
usando a fórmula:
Primeiro, precisamos calcular
,
e
.
Passo 7
Calculando
com
:
Calculando
com
:
Calculando
com
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na expressão do polinômio
:
Agora, substituímos os
que calculamos anteriormente.
Passo 9
Vamos montar o polinômio completo substituindo os
:
Esse é o polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa pelos três pontos dados.
Resposta
O polinômio de interpolação de Lagrange que interpola a função
nos pontos
,
e
é: