Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre espaços vetoriais, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O enunciado nos pede para verificar se o conjunto dos números reais, , com uma soma definida como e uma multiplicação por escalar definida como , forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender e verificar as axiomas de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde você pode realizar duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalares (números reais, no nosso caso). Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, essas operações devem satisfazer determinadas axiomas. Vamos listar e verificar cada um deles.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento pela soma
Para quaisquer , a soma também deve estar em . Como a subtração de números reais sempre resulta em um número real, este axioma está satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento pela multiplicação por escalar
Para qualquer escalar e qualquer vetor , a multiplicação deve estar em . A multiplicação de dois números reais resulta em um número real, portanto, este axioma também está satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Comutatividade da soma
Para quaisquer , deve valer que . Vamos verificar:
Claramente, a menos que . Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 6
Como já encontramos um axioma que não é satisfeito, não é necessário verificar os demais. Um espaço vetorial precisa que todos os axiomas sejam válidos. Se qualquer um deles falhar, o conjunto não é um espaço vetorial.
Resposta
com as operações e não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma de comutatividade da soma.