Considere o conjunto . é um subespaço vetorial de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 com entradas reais e queremos saber se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço. Para isso, precisamos lembrar dos requisitos para um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a matriz zero. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero:
Multiplicando a matriz zero pelo vetor :
Como , a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Então, somando as duas equações:
Isso mostra que também satisfaz , ou seja, .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se está em e é um número real qualquer, então também deve estar em .