Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem, então converge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado afirma: "Verdadeiro ou contra-exemplo: Se e convergem, então converge."
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que são somas infinitas de termos. A questão envolve saber se a convergência de duas séries individuais garante a convergência da série formada pelo produto termo a termo dessas séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série convergir e como funciona a multiplicação de termos de séries convergentes.

Passo 2

Vamos analisar se a afirmação é sempre verdadeira ou se existe algum caso em que ela não se mantém. Para isso, vamos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, duas séries que convergem individualmente, mas cujo produto termo a termo resulta em uma série que não converge.

Passo 3

Considere as séries e .
Cada uma dessas séries é uma série alternada e condicionalmente convergente, pois elas satisfazem o Teste da Série Alternada: os termos tendem a zero e alternam sinais, mas não são absolutamente convergentes porque diverge.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar termo a termo: .
A série resultante é , que é conhecida como a série harmônica.

Passo 5

Sabemos que a série harmônica diverge. Ou seja, mesmo que as séries originais e sejam convergentes, a série formada pelo produto de seus termos não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é considerar e , que convergem individualmente, mas diverge.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e ;
(b) e .
© e ;
(d) e ;
(e) e .
Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando como variável independente.
Seja a porção da região simultaneamente interior às curvas e que está situada no exterior da curva . Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com ;
(b) e , com ;
© e , com ;
(d) e ;
(e) , com ;
(f) , com .