Verdadeiro ou contra-exemplo: Se sum an e sum bn convergem, então sum an bn converge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado afirma: "Verdadeiro ou contra-exemplo: Se sum an e sum bn convergem, então sum an bn converge."
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que são somas infinitas de termos. A questão envolve saber se a convergência de duas séries individuais garante a convergência da série formada pelo produto termo a termo dessas séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série convergir e como funciona a multiplicação de termos de séries convergentes.

Passo 2

Vamos analisar se a afirmação é sempre verdadeira ou se existe algum caso em que ela não se mantém. Para isso, vamos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, duas séries que convergem individualmente, mas cujo produto termo a termo resulta em uma série que não converge.

Passo 3

Considere as séries sum an = sum (-1)^nraizn e sum bn = sum (-1)^nraizn.
Cada uma dessas séries é uma série alternada e condicionalmente convergente, pois elas satisfazem o Teste da Série Alternada: os termos tendem a zero e alternam sinais, mas não são absolutamente convergentes porque sum 1raizn diverge.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar termo a termo: an bn = ( (-1)^nraizn ) ( (-1)^nraizn ) = 1n.
A série resultante é sum 1n, que é conhecida como a série harmônica.

Passo 5

Sabemos que a série harmônica sum 1n diverge. Ou seja, mesmo que as séries originais sum an e sum bn sejam convergentes, a série formada pelo produto de seus termos não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é considerar sum an = sum (-1)^nraizn e sum bn = sum (-1)^nraizn, que convergem individualmente, mas sum an bn = sum 1n diverge.

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