Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem, então
converge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado afirma: "Verdadeiro ou contra-exemplo: Se
e
convergem, então
converge."
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que são somas infinitas de termos. A questão envolve saber se a convergência de duas séries individuais garante a convergência da série formada pelo produto termo a termo dessas séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série convergir e como funciona a multiplicação de termos de séries convergentes.
Passo 2
Vamos analisar se a afirmação é sempre verdadeira ou se existe algum caso em que ela não se mantém. Para isso, vamos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, duas séries que convergem individualmente, mas cujo produto termo a termo resulta em uma série que não converge.
Passo 3
Considere as séries
e
.
Cada uma dessas séries é uma série alternada e condicionalmente convergente, pois elas satisfazem o Teste da Série Alternada: os termos tendem a zero e alternam sinais, mas não são absolutamente convergentes porque
diverge.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar termo a termo:
.
A série resultante é
, que é conhecida como a série harmônica.
Passo 5
Sabemos que a série harmônica
diverge. Ou seja, mesmo que as séries originais
e
sejam convergentes, a série formada pelo produto de seus termos não converge.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é considerar
e
, que convergem individualmente, mas
diverge.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e
;
(b) e
.
© e
;
(d) e
;
(e) e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando
como variável independente.
Seja
a porção da região simultaneamente interior às curvas
e
que está situada no exterior da curva
. Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .
(a) a área da região
(b) o comprimento de arco da fronteira da região
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com
;
(b) e
, com
;
© e
, com
;
(d) e
;
(e) , com
;
(f) , com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)