Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e ;
(b) e .
© e ;
(d) e ;
(e) e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região que está dentro simultaneamente das curvas e . A gente vai usar conceitos de cálculo polar para resolver isso, tipo integração de funções em coordenadas polares. Precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam para saber os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Resolvendo essa equação:

Passo 4

Agora, encontramos os valores de que satisfazem . Sabemos que isso acontece quando:

Passo 5

Como estamos trabalhando com coordenadas polares, o intervalo relevante para vai de a . Mas percebemos que a interseção ocorre simetricamente, então podemos calcular a área de uma das partes e multiplicar por 2 para facilitar.

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui, é a função que está mais longe do polo (centro) no intervalo considerado, e é a mais próxima.

Passo 7

Vamos determinar qual função é maior e qual é menor no intervalo de a :
  • Para entre e , é maior que .
  • Fora desse intervalo, pode ser maior.
Mas para simplificar, vamos calcular a área entre e .

Passo 8

Aplicando a fórmula:

Passo 9

Calculando os quadrados:
Substituindo na integral:

Passo 10

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 11

Agora, integramos termo a termo:
Então:

Passo 12

Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 13

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando como variável independente.
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem, então converge.
Seja a porção da região simultaneamente interior às curvas e que está situada no exterior da curva . Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .