Consideremos o anel
e o ideal
(com as operações de adição e multiplicação usuais). Construa as tábuas de adição e multiplicação do anel quociente
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir as tábuas de adição e multiplicação do anel quociente
, onde
(os inteiros) e
(todos os múltiplos de 4). Isso envolve entender um pouco sobre anéis quocientes, que são como “divisões” de anéis por ideais. Pra isso, vamos precisar saber como funciona a adição e a multiplicação módulo 4.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o anel quociente
. Aqui,
e
. O anel quociente
consiste em classes de equivalência de inteiros onde dois números são equivalentes se a diferença entre eles for múltiplo de 4. Basicamente, estamos olhando para os restos quando dividimos qualquer inteiro por 4. Assim, os elementos de
são
.
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de adição. A adição em
é feita somando os números e depois pegando o resto da divisão por 4. Por exemplo,
, e
. Vamos fazer isso para todos os pares possíveis.
Passo 4
Vamos para a tabela de multiplicação. A multiplicação também é feita multiplicando os números e pegando o resto da divisão por 4. Por exemplo,
, e
. Vamos calcular isso para todos os pares de elementos.
Resposta
Tabela de Adição em
+ | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
1 | 1 | 2 | 3 | 0 |
2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
3 | 3 | 0 | 1 | 2 |
Tabela de Multiplicação em
× | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
2 | 0 | 2 | 0 | 2 |
3 | 0 | 3 | 2 | 1 |