Consideremos o anel A=Z e o ideal I=4 Z (com as operações de adição e multiplicação usuais). Construa as tábuas de adição e multiplicação do anel quociente A / I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir as tábuas de adição e multiplicação do anel quociente A / I, onde A = Z (os inteiros) e I = 4Z (todos os múltiplos de 4). Isso envolve entender um pouco sobre anéis quocientes, que são como “divisões” de anéis por ideais. Pra isso, vamos precisar saber como funciona a adição e a multiplicação módulo 4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o anel quociente A / I. Aqui, A = Z e I = 4Z. O anel quociente Z / 4Z consiste em classes de equivalência de inteiros onde dois números são equivalentes se a diferença entre eles for múltiplo de 4. Basicamente, estamos olhando para os restos quando dividimos qualquer inteiro por 4. Assim, os elementos de Z / 4Z são 0, 1, 2, 3.

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de adição. A adição em Z / 4Z é feita somando os números e depois pegando o resto da divisão por 4. Por exemplo, 2 + 3 = 5, e 5 mod 4 = 1. Vamos fazer isso para todos os pares possíveis.

Passo 4

Vamos para a tabela de multiplicação. A multiplicação também é feita multiplicando os números e pegando o resto da divisão por 4. Por exemplo, 2 times 3 = 6, e 6 mod 4 = 2. Vamos calcular isso para todos os pares de elementos.

Resposta

Tabela de Adição em Z / 4Z
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tabela de Multiplicação em Z / 4Z
× 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1

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