A equação diferencial para a velocidade v de uma massa em queda m sujeita à resistencia do ar proporcional à velocidade instantânea é
m * d v / d t = m * g - γ * v
(a) Resolva a equação sujeita à condição inicial v(0) = v0.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a velocidade de uma massa em queda livre, levando em conta a resistência do ar proporcional à velocidade. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e métodos de solução para elas. Precisaremos resolver a equação dada considerando a condição inicial .

Passo 2

Começamos escrevendo a equação diferencial fornecida:
O objetivo é encontrar a expressão para que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Isso nos deixa com uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 5

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Calculamos a integral:
Então:

Passo 9

Dividimos ambos os lados por :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá:

Resposta

A solução para a velocidade é:

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