A equação diferencial para a velocidade
de uma massa em queda
sujeita à resistencia do ar proporcional à velocidade instantânea é
(a) Resolva a equação sujeita à condição inicial
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a velocidade
de uma massa
em queda livre, levando em conta a resistência do ar proporcional à velocidade. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e métodos de solução para elas. Precisaremos resolver a equação dada considerando a condição inicial
.
Passo 2
Começamos escrevendo a equação diferencial fornecida:
O objetivo é encontrar a expressão para
que satisfaz essa equação e a condição inicial.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Isso nos deixa com uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 4
A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 5
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Calculamos a integral:
Então:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá:
Resposta
A solução para a velocidade
é: