Calcule o volume do sólido interno ao cilindro
, e externo ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por
, entre
e
, e que está fora de um cone definido por
, com
. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, que facilitam muito quando lidamos com cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessa representação:
- O cilindro
fica , ou seja, . - O cone
fica , ou seja, .
Então, nosso sólido está limitado entre
e
, dentro do cilindro
, e fora do cone
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Precisamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a (girar o círculo completo). -
varia de a . - Para cada
, varia do cone até o cilindro. Do cone, implica , e o cilindro limita .
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Integrando em
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Determine os limites:
Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em
) que você achar mais conveniente:
Seja
a região limitada pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados. Calcule o volume de
.