Calcule o volume do sólido interno ao cilindro , e externo ao cone .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por , entre e , e que está fora de um cone definido por , com . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, que facilitam muito quando lidamos com cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa representação:
  • O cilindro fica , ou seja, .
  • O cone fica , ou seja, .
Então, nosso sólido está limitado entre e , dentro do cilindro , e fora do cone .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a (girar o círculo completo).
  • varia de a .
  • Para cada , varia do cone até o cilindro. Do cone, implica , e o cilindro limita .
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .
Integrando em :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Determine os limites:
Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em ) que você achar mais conveniente:
Seja a região limitada pelo parabolóide , pelo plano e pelos planos coordenados. Calcule o volume de .