A equação pelo método dos mínimos quadrados tem o objetivo de traçar a reta mais próxima da série de dados. Sabendo que Y é o número de funcionários de uma fábrica e X a produção desta fábrica em toneladas, qual a equação correspondente para os dados abaixo? X Produção (em toneladas) Y Número de Funcionários 15 8 12 7 10 5 9 4 7 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de matemática onde queremos encontrar a equação de uma reta que melhor se encaixa em alguns dados de produção e número de funcionários de uma fábrica. Isso é feito usando o método dos mínimos quadrados, que está na matéria de Regressão Linear. Para resolver, vamos precisar dos valores de X (produção em toneladas) e Y (número de funcionários).

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
Produção (X) Funcionários (Y)
15 8
12 7
10 5
9 4
7 2

Passo 3

Agora, vamos precisar calcular algumas somas importantes que vão nos ajudar a encontrar a reta:
  • Soma de X: ΣX
  • Soma de Y: ΣY
  • Soma de X vezes Y: ΣXY
  • Soma de X ao quadrado: ΣX²
Vamos calcular cada uma delas:
Sigma X &= 15 + 12 + 10 + 9 + 7 = 53 Sigma Y &= 8 + 7 + 5 + 4 + 2 = 26 Sigma XY &= (15 times 8) + (12 times 7) + (10 times 5) + (9 times 4) + (7 times 2) &= 120 + 84 + 50 + 36 + 14 = 304 Sigma X^2 &= 15^2 + 12^2 + 10^2 + 9^2 + 7^2 &= 225 + 144 + 100 + 81 + 49 = 599

Passo 4

Com essas somas, podemos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes da reta na forma $ Y = a + bX $.
As fórmulas são:
Y = a + bX
b = nSigma XY - Sigma X Sigma YnSigma X^2 - (Sigma X)^2
Onde $ n $ é o número de pontos de dados, que aqui é 5.

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente $ b $ primeiro:
b
Agora, calculamos o coeficiente $ a $:
b = 5 times 304 - 53 times 265 times 599 - 53^2 = 1520 - 13782995 - 2809 = 142186 approx 0,763

Resposta

A equação da reta que melhor se ajusta aos dados é aproximadamente:
Y = -2,89 + 0,76,X

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