(a) Calcule o comprimento do gráfico de 2 x^(3/2) no intervalo [0,7]. (resposta 1022/27 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função , quadrar essa derivada, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar de 0 a 7.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do poder, temos:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Quando , . Quando , .

Passo 7

Agora, integramos :
Sabemos que e .

Resposta

O comprimento do gráfico de no intervalo é .

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