(a) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função
, quadrar essa derivada, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar de 0 a 7.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do poder, temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
. Quando
,
. Quando
,
.
Passo 7
Agora, integramos
:
Sabemos que
e
.
Resposta
O comprimento do gráfico de
no intervalo
é
.