Seja
região limitada por uma curva fechada e suave por partes
. Mostre que a área da região
é dada por
, para
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a área
de uma região
, limitada por uma curva fechada e suave
, pode ser calculada usando uma integral de linha específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas para calcular áreas. Vamos precisar definir um campo vetorial
adequado e aplicar o teorema para chegar à expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele estabelece que para uma curva fechada
que delimita uma região
:
Aqui,
e
são funções do campo vetorial
.
Passo 3
Queremos relacionar isso com a área
. Sabemos que a área pode ser expressa como:
Para que a integral dupla do Teorema de Green se iguale à área, precisamos que:
Passo 4
Vamos escolher um campo vetorial
que satisfaça essa condição. O enunciado sugere
. Então, temos:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Perfeito! Isso confirma que a integral dupla será igual à área
.
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema de Green com nosso campo
:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
Portanto, a área da região
é dada por:
ou equivalente a:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada
:
(a)
(a)
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Resolva as integrais:
Encontre a área limitada pelo gráfico da função
, e as retas:
,
e
. Esboce o gráfico da função e destaque a área calculada.