utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=4 x e^z i+cos y j+2 x^2 e^z k,
C: r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na expressão do campo vetorial e calcular a integral usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, observe que o campo vetorial dado é:
F(x, y, z) = 4x e^z i + cos y j + 2x^2 e^z k
E a curva C está parametrizada por:
r(t) = t i + t^2 j + t^4 k, 0 <= t <= 1
Vamos parametrizar o campo vetorial substituindo x, y e z em termos de t.

Passo 3

Substituindo os componentes de r(t) em F(x, y, z):
F(t) = 4t e^t^4 i + cos(t^2) j + 2t^2 e^t^4 k

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t):
r'(t) = ddt [t i + t^2 j + t^4 k] = i + 2t j + 4t^3 k

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(t) cdot r'(t):
Simplificando:
F(t) cdot r'(t) = (4t e^t^4)(1) + (cos(t^2)(2t) + (2t^2 e^t^4)(4t^3)

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a t de 0 a 1:
integral0^1 [4t e^t^4 + 2t cos(t^2) + 8t^5 e^t^4] , dt
Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Integral de 4t e^t^4 dt:
    Fazemos a substituição u = t^4, então du = 4t^3 dt. No entanto, não temos t^3 na integral, então essa parte será mantida na forma de integral.
  2. Integral de 2t cos(t^2) dt:
    Aqui, usamos a substituição u = t^2, então du = 2t dt. A integral fica:
    integral cos(u) , du = sin(u) + C = sin(t^2) + C
  3. Integral de 8t^5 e^t^4 dt:
    Fazemos a substituição u = t^4, então du = 4t^3 dt, mas ainda ficamos com t^2 sobrando, o que complica a integral. Essa parte também será mantida na forma de integral.

Passo 7

Observando que o campo vetorial F é conservativo (pois satisfaz as condições de existência de um potencial escalar), podemos encontrar uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Encontrando phi:
phi = 2x^2 e^z + sin(y) + C
A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos.

Passo 8

Calculamos phi nos pontos finais da curva C. Quando t=1, temos (x, y, z) = (1, 1, 1):
phi(1,1,1) = 2(1)^2 e^1 + sin(1) = 2e + sin(1)
Quando t=0, temos (x, y, z) = (0, 0, 0):
phi(0,0,0) = 2(0)^2 e^0 + sin(0) = 0 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C é igual a 2e + sin(1).

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j) (x^(x^x))'
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=y i+x j,
C é o arco da curva y=x^4-x^3 de (1,0) a (2,8)
Calcule a derivada d/y d/x :
(a) y = x arctg(x)
Seja D região limitada por uma curva fechada e suave por partes C. Mostre que a área da região D é dada por A(D)=ointC F d r, para F=-y2 i+x2 j ou A(D)=12 ointC-y d x+x d y.