utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na expressão do campo vetorial e calcular a integral usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, observe que o campo vetorial dado é:
E a curva
está parametrizada por:
Vamos parametrizar o campo vetorial substituindo
,
e
em termos de
.
Passo 3
Substituindo os componentes de
em
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
Integral de
:
Fazemos a substituição, então . No entanto, não temos na integral, então essa parte será mantida na forma de integral. -
Integral de
:
Aqui, usamos a substituição, então . A integral fica: -
Integral de
:
Fazemos a substituição, então , mas ainda ficamos com sobrando, o que complica a integral. Essa parte também será mantida na forma de integral.
Passo 7
Observando que o campo vetorial
é conservativo (pois satisfaz as condições de existência de um potencial escalar), podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Encontrando
:
A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos.
Passo 8
Calculamos
nos pontos finais da curva
. Quando
, temos
:
Quando
, temos
:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j)
(j)
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da curva
de
a
Calcule a derivada
:
(a)
(a)
Seja
região limitada por uma curva fechada e suave por partes
. Mostre que a área da região
é dada por
, para
ou
.