Encontre a área limitada pelo gráfico da função
, e as retas:
,
e
. Esboce o gráfico da função e destaque a área calculada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área que está limitada pelo gráfico da função
e pelas retas
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, integrais, que ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas e retas que delimitam a área que queremos encontrar:
- A função
é uma parábola que abre para cima. - As retas verticais
e vão nos dar os limites laterais da área. - A reta horizontal
é o eixo x, que vai nos dar o limite inferior.
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção entre a parábola e as retas para ter certeza de onde começa e termina a área. Sabemos que
é o eixo x, então vamos ver onde
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar que a área que queremos está entre
e
. Porém, como a parábola corta o eixo x em
e
, precisamos dividir a área em duas partes:
- De
a , onde a parábola está abaixo do eixo x. - De
a , onde a parábola está acima do eixo x.
Passo 5
Vamos calcular a área de cada parte separadamente e depois somar as duas. A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo considerado.
Para a primeira parte (
a
):
Porque
é negativo nesse intervalo.
Para a segunda parte (
a
):
Porque
é positivo nesse intervalo.
Passo 6
Vamos calcular cada integral:
Para
:
Para
:
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Portanto, a área limitada pelo gráfico da função
e pelas retas
,
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
Seja
região limitada por uma curva fechada e suave por partes
. Mostre que a área da região
é dada por
, para
ou
.
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
;
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas: