Encontre a área limitada pelo gráfico da função f(x) = x^2 - 1, e as retas: x = -1, y = 0 e x = 2. Esboce o gráfico da função e destaque a área calculada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área que está limitada pelo gráfico da função e pelas retas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, integrais, que ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas e retas que delimitam a área que queremos encontrar:
  • A função é uma parábola que abre para cima.
  • As retas verticais e vão nos dar os limites laterais da área.
  • A reta horizontal é o eixo x, que vai nos dar o limite inferior.

Passo 3

Vamos identificar os pontos de interseção entre a parábola e as retas para ter certeza de onde começa e termina a área. Sabemos que é o eixo x, então vamos ver onde :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos visualizar que a área que queremos está entre e . Porém, como a parábola corta o eixo x em e , precisamos dividir a área em duas partes:
  1. De a , onde a parábola está abaixo do eixo x.
  2. De a , onde a parábola está acima do eixo x.

Passo 5

Vamos calcular a área de cada parte separadamente e depois somar as duas. A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença delas no intervalo considerado.
Para a primeira parte ( a ):
Á
Porque é negativo nesse intervalo.
Para a segunda parte ( a ):
Á
Porque é positivo nesse intervalo.

Passo 6

Vamos calcular cada integral:
Para Á:
Para Á:

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
ÁÁÁ
Portanto, a área limitada pelo gráfico da função e pelas retas , e é unidades quadradas.

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