Seja S a parte do cone x^2 + y^2 - z^2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2. Encontre uma expressão para o vetor normal unitário n apontando para fora do cone em cada ponto (x, y, z) pertence a S.
Resp.: n = (raiz(2)/2 z) * <x, y, -z>.

Passo 1

Então, o enunciado nos pede para encontrar uma expressão para o vetor normal unitário n que aponta para fora do cone definido pela equação x^2 + y^2 - z^2 = 0, entre os planos z = 1 e z = 2. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Em uma superfície, o vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Para encontrar esse vetor, podemos usar o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

A equação do cone é x^2 + y^2 - z^2 = 0. Vamos considerá-la como uma função . O gradiente dessa função, nabla f, nos dá um vetor que é normal à superfície em cada ponto.

Passo 4

Calculando o gradiente:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora, queremos o vetor normal unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor N. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.

Passo 6

Calculando o módulo de N:
Mas, da equação do cone, sabemos que , então:

Passo 7

Agora, normalizando o vetor:
Simplificando, multiplicamos o numerador e denominador por raiz(2):

Resposta

A expressão para o vetor normal unitário é:

Exercícios relacionados