Seja a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma expressão para o vetor normal unitário apontando para fora do cone em cada ponto .
Resp.: .

Passo 1

Então, o enunciado nos pede para encontrar uma expressão para o vetor normal unitário que aponta para fora do cone definido pela equação , entre os planos e . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Em uma superfície, o vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Para encontrar esse vetor, podemos usar o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

A equação do cone é . Vamos considerá-la como uma função . O gradiente dessa função, , nos dá um vetor que é normal à superfície em cada ponto.

Passo 4

Calculando o gradiente:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora, queremos o vetor normal unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.

Passo 6

Calculando o módulo de :
Mas, da equação do cone, sabemos que , então:

Passo 7

Agora, normalizando o vetor:
Simplificando, multiplicamos o numerador e denominador por :

Resposta

A expressão para o vetor normal unitário é:

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral em que é a esfera .
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral em que é a esfera .
Resp.: .
Calcule em que é a parte do plano interior ao paraboloide .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro compreendida entre os planos e , com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para e utilize-a para calcular a integral em que .
Resp.: .