Seja
a parte do cone
situada entre os planos
e
. Encontre uma expressão para o vetor normal unitário
apontando para fora do cone em cada ponto
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Então, o enunciado nos pede para encontrar uma expressão para o vetor normal unitário
que aponta para fora do cone definido pela equação
, entre os planos
e
. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Em uma superfície, o vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Para encontrar esse vetor, podemos usar o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
A equação do cone é
. Vamos considerá-la como uma função
. O gradiente dessa função,
, nos dá um vetor que é normal à superfície em cada ponto.
Passo 4
Calculando o gradiente:
Então, o vetor normal é
.
Passo 5
Agora, queremos o vetor normal unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor
. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.
Passo 6
Calculando o módulo de
:
Mas, da equação do cone, sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, normalizando o vetor:
Simplificando, multiplicamos o numerador e denominador por
:
Resposta
A expressão para o vetor normal unitário é:
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Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a esfera
.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a esfera
.
Resp.: .
Resp.:
Calcule
em que
é a parte do plano
interior ao paraboloide
.
Resp.: .
Resp.:
Seja
a parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
, com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para
e utilize-a para calcular a integral
em que
.
Resp.: .
Resp.: