Seja S a parte do cilindro x^2+y^2=4 compreendida entre os planos z=0 e z=2, com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para S e utilize-a para calcular a integral integral duplaS F cdot d S em que F=(x^3+cos (y z), y^3, z).
Resp.: 48 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização para a parte do cilindro entre os planos e . Depois, usar essa parametrização para calcular a integral de superfície , onde . Vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. O cilindro r(theta, z) = (2costheta, 2sintheta, z) tem raio 2. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Então, podemos definir:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência e varia de a para cobrir a altura do cilindro entre os planos dados.

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área rtheta = partial rpartial theta = (-2sintheta, 2costheta, 0) . Calculamos as derivadas parciais de rz = partial rpartial z = (0, 0, 1) em relação a e :

Passo 4

Com esses vetores tangentes, o vetor normal n = rtheta times rz = (2costheta, 2sintheta, 0) é dado pelo produto vetorial:
Notamos que a normal está apontando para fora do cilindro, conforme o enunciado pede.

Passo 5

O elemento de área vetorial dS = n , dtheta , dz = (2costheta, 2sintheta, 0) , dtheta , dz é então:

Passo 6

Agora vamos substituir F = (x^3 + cos(yz), y^3, z) = ((2costheta)^3 + cos(2sintheta cdot z), (2sintheta)^3, z) na integral. Temos:
F = (8cos^3theta + cos(2sintheta z), 8sin^3theta, z)
Simplificando:

Passo 7

A integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^2 (8cos^3theta + cos(2sintheta z))(2costheta) + (8sin^3theta)(2sintheta) + (z)(0) , dz , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^2 (16cos^4theta + 2costheta cos(2sintheta z) + 16sin^4theta ) dz , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em integral0^2 (16cos^4theta + 16sin^4theta) dz = 2 cdot 16 (cos^4theta + sin^4theta) = 32(cos^4theta + sin^4theta) . Observando que a segunda parte integra para zero devido à periodicidade e simetria. Assim, ficamos com:

Passo 9

Agora, integramos em integral0^2pi 32(cos^4theta + sin^4theta) dtheta :
32 cdot 34 pi cdot 2pi = 48pi
Usando a identidade , temos:

Resposta

.

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