Seja
a parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
, com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para
e utilize-a para calcular a integral
em que
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização para a parte do cilindro
entre os planos
e
. Depois, usar essa parametrização para calcular a integral de superfície
, onde
. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. O cilindro
tem raio 2. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Então, podemos definir:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a circunferência e
varia de
a
para cobrir a altura do cilindro entre os planos dados.
Passo 3
Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área
. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Com esses vetores tangentes, o vetor normal
é dado pelo produto vetorial:
Notamos que a normal está apontando para fora do cilindro, conforme o enunciado pede.
Passo 5
O elemento de área vetorial
é então:
Passo 6
Agora vamos substituir
na integral. Temos:
Simplificando:
Passo 7
A integral de superfície fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
. Observando que a segunda parte
integra para zero devido à periodicidade e simetria. Assim, ficamos com:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Usando a identidade
, temos: