Seja a parte do cilindro compreendida entre os planos e , com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para e utilize-a para calcular a integral em que .
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização para a parte do cilindro entre os planos e . Depois, usar essa parametrização para calcular a integral de superfície , onde . Vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. O cilindro tem raio 2. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Então, podemos definir:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência e varia de a para cobrir a altura do cilindro entre os planos dados.

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área . Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Com esses vetores tangentes, o vetor normal é dado pelo produto vetorial:
Notamos que a normal está apontando para fora do cilindro, conforme o enunciado pede.

Passo 5

O elemento de área vetorial é então:

Passo 6

Agora vamos substituir na integral. Temos:
Simplificando:

Passo 7

A integral de superfície fica:
Simplificando:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em . Observando que a segunda parte integra para zero devido à periodicidade e simetria. Assim, ficamos com:

Passo 9

Agora, integramos em :
Usando a identidade , temos:

Resposta

.

Exercícios relacionados

Calcule em que é a parte do plano interior ao paraboloide .
Resp.: .
Seja a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma expressão para o vetor normal unitário apontando para fora do cone em cada ponto .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(a) Encontre uma parametrização para .
Calcule , em que
e é a superfície , com , orientada com normal apontando para cima. Resp.: .