Calcule integral duplaS(x^2+y^2) d S em que S é a parte do plano z=2 x+2 y-1 interior ao paraboloide z=x^2+y^2.
Resp.: 15 pi2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é a parte do plano que está dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração.

Passo 2

Vamos visualizar a região de integração. A superfície é onde o plano está dentro do paraboloide . Para encontrar os limites, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se interceptam.

Passo 3

Igualando as equações das duas superfícies para encontrar a curva de interseção:
2x + 2y -1 = x^2 + y^2

Passo 4

Rearranjando a equação:
x^2 + y^2 - 2x - 2y +1 = 0
Isso representa um círculo. Vamos completar os quadrados para identificar o centro e o raio.

Passo 5

Completando os quadrados:
(x -1)^2 + (y -1)^2 = 1
Portanto, a curva de interseção é um círculo de raio 1 centrado em (1,1).

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas ou manter em coordenadas cartesianas com o centro no círculo.

Passo 7

Parametrizando a superfície dS = raiz ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy :
Como partial zpartial x = 2 , podemos expressar o elemento de área partial zpartial y = 2 em termos de dS = raiz2^2 + 2^2 +1 , dx , dy = raiz4 + 4 +1 , dx , dy = raiz9 , dx , dy = 3 , dx , dy e :
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 8

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaS (x^2 + y^2) , dS = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) , dx , dy
Onde é a região do plano dentro do círculo .

Passo 9

Fazendo uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo:
Deixe 3 integral duplau^2 + v^2 <= 1 ( (u+1)^2 + (v+1)^2 ) , du , dv e .
A integral se torna:

Passo 10

Expandindo os termos dentro da integral:
(u+1)^2 + (v+1)^2 = u^2 + 2u +1 + v^2 + 2v +1 = u^2 + v^2 + 2u + 2v + 2

Passo 11

Agora, a integral fica:
3 integral duplau^2 + v^2 <=1 (u^2 + v^2 + 2u + 2v + 2) , du , dv

Passo 12

Podemos separar a integral em partes:
3 ( integral dupla (u^2 + v^2) , du , dv + 2 integral dupla u , du , dv + 2 integral dupla v , du , dv + 2 integral dupla 1 , du , dv )

Passo 13

Observando a simetria, as integrais dos termos integral dupla u , du , dv = 0 e integral dupla v , du , dv = 0 serão zero:
3 ( integral dupla (u^2 + v^2) , du , dv + 2 integral dupla 1 , du , dv )
Então, sobra:

Passo 14

Calculando cada parte:
integral duplau^2 + v^2 <=1 (u^2 + v^2) , du , dv = pi2
integral duplau^2 + v^2 <=1 1 , du , dv = pi
Substituindo na expressão:
3 ( pi2 + 2 pi ) = 3 cdot 5pi2 = 15pi2

Resposta

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