Calcule
em que
é a parte do plano
interior ao paraboloide
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a superfície
, que é a parte do plano
que está dentro do paraboloide
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração.
Passo 2
Vamos visualizar a região de integração. A superfície
é onde o plano
está dentro do paraboloide
. Para encontrar os limites, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se interceptam.
Passo 3
Igualando as equações das duas superfícies para encontrar a curva de interseção:
Passo 4
Rearranjando a equação:
Isso representa um círculo. Vamos completar os quadrados para identificar o centro e o raio.
Passo 5
Completando os quadrados:
Portanto, a curva de interseção é um círculo de raio 1 centrado em (1,1).
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas ou manter em coordenadas cartesianas com o centro no círculo.
Passo 7
Parametrizando a superfície
:
Como
, podemos expressar o elemento de área
em termos de
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 8
Agora, nossa integral dupla fica:
Onde
é a região do plano dentro do círculo
.
Passo 9
Fazendo uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo:
Deixe
e
.
A integral se torna:
Passo 10
Expandindo os termos dentro da integral:
Passo 11
Agora, a integral fica:
Passo 12
Podemos separar a integral em partes:
Passo 13
Observando a simetria, as integrais dos termos
e
serão zero:
Então, sobra:
Passo 14
Calculando cada parte:
Substituindo na expressão: