Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral em que é a esfera .
Resp.: .

Passo 1

Neste exercício, vamos usar o Teorema da Divergência do cálculo vetorial para calcular a integral de superfície , onde é a esfera definida por . Para isso, precisamos entender como aplicar o teorema e calcular a divergência do campo vetorial envolvido.

Passo 2

O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Matematicamente, é expresso por:
Aqui, é o campo vetorial, é o vetor normal à superfície , e é o volume limitado por .

Passo 3

Primeiro, identificamos o campo vetorial correspondente à função dada na integral de superfície. Podemos escolher:

Passo 4

Agora, calculamos a divergência de :

Passo 5

Em seguida, definimos o volume limitado pela esfera . Essa esfera tem raio . Para facilitar os cálculos, utilizaremos coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é dado por:

Passo 6

Substituindo a divergência e as coordenadas esféricas na integral de volume:
Observamos que as integrais envolvendo e se anulam, pois a integração de e de a é zero. Portanto, resta apenas:

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Fazendo a substituição , :
  1. Integral em :
Multiplicando os resultados:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral em que é a esfera .
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Seja a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma expressão para o vetor normal unitário apontando para fora do cone em cada ponto .
Resp.: .
Calcule em que é a parte do plano interior ao paraboloide .
Resp.: .