Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral integral duplaS(x^2+y^2+z^3) d S em que S é a esfera x^2+y^2+z^2=4.
Resp.: 128 pi3.

Passo 1

Neste exercício, vamos usar o Teorema da Divergência do cálculo vetorial para calcular a integral de superfície integral duplaS(x^2+y^2+z^3) d S, onde S é a esfera definida por x^2+y^2+z^2=4. Para isso, precisamos entender como aplicar o teorema e calcular a divergência do campo vetorial envolvido.

Passo 2

O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Matematicamente, é expresso por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, F é o campo vetorial, n é o vetor normal à superfície S, e V é o volume limitado por S.

Passo 3

Primeiro, identificamos o campo vetorial F correspondente à função dada na integral de superfície. Podemos escolher:
F = x^2i + y^2j + z^3k

Passo 4

Agora, calculamos a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(z^3) = 2x + 2y + 3z^2

Passo 5

Em seguida, definimos o volume V limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4. Essa esfera tem raio r = 2. Para facilitar os cálculos, utilizaremos coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Substituindo a divergência e as coordenadas esféricas na integral de volume:
integral triplaV (2x + 2y + 3z^2) , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 (2rho sinphi costheta + 2rho sinphi sintheta + 3rho^2 cos^2phi ) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Observamos que as integrais envolvendo 2rho sinphi costheta e 2rho sinphi sintheta se anulam, pois a integração de costheta e sintheta de 0 a 2pi é zero. Portanto, resta apenas:
3 integral0^2pi integral0^pi integral0^2 rho^4 cos^2phi sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. Integral em rho:
integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 325
  1. Integral em phi:
Fazendo a substituição u = cosphi, du = -sinphi dphi:
integral0^pi cos^2phi sinphi , dphi = integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 23
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando os resultados:
3 times 325 times 23 times 2pi = 128pi3

Resposta

A integral vale 128 pi3.

Exercícios relacionados