Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a esfera
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Neste exercício, vamos usar o Teorema da Divergência do cálculo vetorial para calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera definida por
. Para isso, precisamos entender como aplicar o teorema e calcular a divergência do campo vetorial envolvido.
Passo 2
O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Matematicamente, é expresso por:
Aqui,
é o campo vetorial,
é o vetor normal à superfície
, e
é o volume limitado por
.
Passo 3
Primeiro, identificamos o campo vetorial
correspondente à função dada na integral de superfície. Podemos escolher:
Passo 4
Agora, calculamos a divergência de
:
Passo 5
Em seguida, definimos o volume
limitado pela esfera
. Essa esfera tem raio
. Para facilitar os cálculos, utilizaremos coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é dado por:
Passo 6
Substituindo a divergência e as coordenadas esféricas na integral de volume:
Observamos que as integrais envolvendo
e
se anulam, pois a integração de
e
de
a
é zero. Portanto, resta apenas:
Passo 7
Calculando as integrais:
- Integral em
:
- Integral em
:
Fazendo a substituição
,
:
- Integral em
:
Multiplicando os resultados:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a esfera
.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte superior do elipsóide
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Resp.:
Seja
a parte do cone
situada entre os planos
e
. Encontre uma expressão para o vetor normal unitário
apontando para fora do cone em cada ponto
.
Resp.: .
Resp.:
Calcule
em que
é a parte do plano
interior ao paraboloide
.
Resp.: .
Resp.: