Calcule a integral de superfície
9. é o helicoide com equação vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é um helicoide definido pela equação vetorial , com e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrizações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores da função sobre toda a área da superfície . Para isso, vamos parametrizar a superfície e expressar a integral em termos das variáveis e .
Passo 3
A superfície está parametrizada por . Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar os vetores tangentes e , que são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular e :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o produto vetorial para calcular a área diferencial . Vamos fazer isso:
Calculando o determinante:
ru times rv = sin v i - cos v j + u k
Simplificando:
Como :
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para obter |ru times rv| = raiz(sin v)^2 + (-cos v)^2 + u^2 = raizsin^2 v + cos^2 v + u^2 = raiz1 + u^2 :
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS raiz1+x^2+y^2 , dS = integral0^pi integral0^1 raiz1 + x^2 + y^2 cdot raiz1 + u^2 , du , dv
Mas sabemos que raiz1 + x^2 + y^2 = raiz1 + u^2 cos^2 v + u^2 sin^2 v = raiz1 + u^2 (cos^2 v + sin^2 v) = raiz1 + u^2 e , então:
Passo 8
Portanto, a integral simplifica para:
integral0^pi integral0^1 raiz1 + u^2 cdot raiz1 + u^2 , du , dv = integral0^pi integral0^1 (1 + u^2) , du , dv
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^1 (1 + u^2) , du = [ u + u^33 ]0^1 = 1 + 13 = 43 :
Passo 10
Agora, calculamos a integral externa em relação a integral0^pi 43 , dv = 43 cdot pi = 4pi3 :