Seja
a porção do cone
limitado pelos planos
e
. Parametrize
usando coordenadas cartesianas e usando coordenadas polares.
Passo 1
Beleza! A gente tem um cone dado pela equação
e queremos focar na parte desse cone que está entre os planos
e
. O conteúdo aqui é sobre parametrização de superfícies, que é uma forma de descrever uma superfície usando parâmetros, facilitando cálculos como integrais. Vamos precisar entender coordenadas cartesianas e polares para fazer essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar usando coordenadas cartesianas. Em coordenadas cartesianas, a ideia é expressar
,
e
em termos de duas variáveis independentes, digamos
e
.
O cone é dado por
. Podemos escolher
e
como nossos parâmetros:
Aqui,
e
variam de modo que
está entre 1 e 4, ou seja:
Isso define a parametrização em coordenadas cartesianas.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, expressamos
e
em termos de
e
, onde
é a distância ao origem e
é o ângulo.
Então, temos:
Substituindo na equação do cone:
Então,
. Agora, como
está entre 1 e 4, isso implica que
também está entre 1 e 4:
E
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Então, a parametrização em coordenadas polares fica:
com
e
.
Resposta
Parametrização de
:
-
Coordenadas Cartesianas:onde
. -
Coordenadas Polares:com
e .