Seja S a porção do cone z = raiz(x^2 + y^2) limitado pelos planos z = 1 e z = 4. Parametrize S usando coordenadas cartesianas e usando coordenadas polares.

Passo 1

Beleza! A gente tem um cone dado pela equação e queremos focar na parte desse cone que está entre os planos e . O conteúdo aqui é sobre parametrização de superfícies, que é uma forma de descrever uma superfície usando parâmetros, facilitando cálculos como integrais. Vamos precisar entender coordenadas cartesianas e polares para fazer essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar usando coordenadas cartesianas. Em coordenadas cartesianas, a ideia é expressar , e em termos de duas variáveis independentes, digamos e .
O cone é dado por . Podemos escolher e como nossos parâmetros:
Aqui, e variam de modo que está entre 1 e 4, ou seja:
Isso define a parametrização em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, expressamos e em termos de e , onde é a distância ao origem e é o ângulo.
Então, temos:
Substituindo na equação do cone:
Então, . Agora, como está entre 1 e 4, isso implica que também está entre 1 e 4:
E varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Então, a parametrização em coordenadas polares fica:
com e .

Resposta

Parametrização de :
  • Coordenadas Cartesianas:
    onde .
  • Coordenadas Polares:
    com e .

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