Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
a)c 16 x1+4 x2+8 x3+4 x4=32 4 x1+10 x2+8 x3+4 x4=26 8 x1+8 x2+12 x3+10 x4=38 4 x1+4 x2+10 x3+12 x4=30

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos um sistema de equações lineares com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4) que queremos resolver usando a fatoração de Cholesky. Para isso, precisaremos:
  • Verificar se a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva.
  • Realizar a fatoração de Cholesky para decompor a matriz em uma matriz triangular inferior ( L) e sua transposta ( L^T).
  • Resolver os sistemas triangulares resultantes para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Escrevendo a Matriz dos Coeficientes e o Vetor de Termos Independentes:
Primeiro, organizamos o sistema na forma matricial Ax = b.
A = 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12 , b = 32 26 38 30

Passo 3

Verificando se a Matriz é Simétrica:
Para a fatoração de Cholesky ser aplicável, a matriz A precisa ser simétrica, ou seja, A = A^T. Observando os elementos:
  • A12 = 4 e A21 = 4
  • A13 = 8 e A31 = 8
  • A14 = 4 e A41 = 4
  • A23 = 8 e A32 = 8
  • A24 = 4 e A42 = 4
  • A34 = 10 e A43 = 10
Como todos os elementos satisfazem Aij = Aji, a matriz é simétrica.

Passo 4

Verificando se a Matriz é Definida Positiva:
Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Para simplificar, assumiremos que a matriz A é definida positiva, permitindo assim a aplicação da fatoração de Cholesky.

Passo 5

Realizando a Fatoração de Cholesky ( A = LL^T):
Vamos decompor a matriz A em uma matriz triangular inferior L e sua transposta L^T. A matriz L terá a seguinte forma:
L = l11 & 0 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 & 0 l31 & l32 & l33 & 0 l41 & l42 & l43 & l44
Vamos calcular os elementos de L passo a passo:
  1. Calculando l11:
    l11 = raizA11 = raiz16 = 4
  2. Calculando l21, l31 e l41:
    l21 = A21l11 = 44 = 1
    l31 = A31l11 = 84 = 2
    l41 = A41l11 = 44 = 1
  3. Calculando l22:
    l22 = raizA22 - l21^2 = raiz10 - 1^2 = raiz9 = 3
  4. Calculando l32 e l42:
    l32 = A32 - l31 cdot l21l22 = 8 - 2 cdot 13 = 63 = 2
    l42 = A42 - l41 cdot l21l22 = 4 - 1 cdot 13 = 33 = 1
  5. Calculando l33:
    l33 = raizA33 - l31^2 - l32^2 = raiz12 - 2^2 - 2^2 = raiz12 - 4 - 4 = raiz4 = 2
  6. Calculando l43:
    l43 = A43 - l41 cdot l31 - l42 cdot l32l33 = 10 - 1 cdot 2 - 1 cdot 22 = 10 - 2 - 22 = 62 = 3
  7. Calculando l44:
    l44 = raizA44 - l41^2 - l42^2 - l43^2 = raiz12 - 1^2 - 1^2 - 3^2 = raiz12 - 1 - 1 - 9 = raiz1 = 1
Matriz L Resultante:
L = 4 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 2 & 2 & 2 & 0 1 & 1 & 3 & 1

Passo 6

Resolvendo o Sistema Ly = b:
Agora, vamos resolver o sistema triangular inferior para encontrar o vetor y.
  1. Primeira Equação:
    4y1 = 32 Rightarrow y1 = 324 = 8
  2. Segunda Equação:
    1y1 + 3y2 = 26 Rightarrow 8 + 3y2 = 26 Rightarrow 3y2 = 18 Rightarrow y2 = 6
  3. Terceira Equação:
    2y1 + 2y2 + 2y3 = 38 Rightarrow 2(8) + 2(6) + 2y3 = 38 Rightarrow 16 + 12 + 2y3 = 38
    28 + 2y3 = 38 Rightarrow 2y3 = 10 Rightarrow y3 = 5
  4. Quarta Equação:
    1y1 + 1y2 + 3y3 + 1y4 = 30 Rightarrow 8 + 6 + 15 + y4 = 30
    29 + y4 = 30 Rightarrow y4 = 1
Vetor y Encontrado:
y = 8 6 5 1

Passo 7

Resolvendo o Sistema L^Tx = y:
Agora, precisamos resolver o sistema triangular superior para encontrar o vetor das incógnitas x.
A matriz L^T é:
L^T = 4 & 1 & 2 & 1 0 & 3 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1
  1. Quarta Equação:
    1x4 = 1 Rightarrow x4 = 1
  2. Terceira Equação:
    2x3 + 3x4 = 5 Rightarrow 2x3 + 3(1) = 5 Rightarrow 2x3 = 2 Rightarrow x3 = 1
  3. Segunda Equação:
    3x2 + 2x3 + 1x4 = 6 Rightarrow 3x2 + 2(1) + 1(1) = 6 Rightarrow 3x2 + 3 = 6 Rightarrow 3x2 = 3 Rightarrow x2 = 1
  4. Primeira Equação:
    4x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 = 8 Rightarrow 4x1 + 1(1) + 2(1) + 1(1) = 8 Rightarrow 4x1 + 4 = 8 Rightarrow 4x1 = 4 Rightarrow x1 = 1
Vetor das Incógnitas x Encontrado:
x = 1 1 1 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 1

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