Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos um sistema de equações lineares com quatro incógnitas (x1, x2, x3, x4) que queremos resolver usando a fatoração de Cholesky. Para isso, precisaremos:
Verificar se a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva.
Realizar a fatoração de Cholesky para decompor a matriz em uma matriz triangular inferior (L) e sua transposta (L^T).
Resolver os sistemas triangulares resultantes para encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Escrevendo a Matriz dos Coeficientes e o Vetor de Termos Independentes:
Primeiro, organizamos o sistema na forma matricial Ax = b.
Para a fatoração de Cholesky ser aplicável, a matriz A precisa ser simétrica, ou seja, A = A^T. Observando os elementos:
A12 = 4 e A21 = 4
A13 = 8 e A31 = 8
A14 = 4 e A41 = 4
A23 = 8 e A32 = 8
A24 = 4 e A42 = 4
A34 = 10 e A43 = 10
Como todos os elementos satisfazem Aij = Aji, a matriz é simétrica.
Passo 4
Verificando se a Matriz é Definida Positiva:
Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Para simplificar, assumiremos que a matriz A é definida positiva, permitindo assim a aplicação da fatoração de Cholesky.
Passo 5
Realizando a Fatoração de Cholesky (A = LL^T):
Vamos decompor a matriz A em uma matriz triangular inferior L e sua transposta L^T. A matriz L terá a seguinte forma: