Sejam U=a+b x+c x^2+d x^3 in P3 mid a+b-c+3 d=0 e W=p(x) in P3 mid p^prime(-1)=0 dois subespaços vetoriais de P3. Determine U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de polinômios, e , que são subespaços vetoriais de (o espaço dos polinômios de grau até 3). Nosso objetivo é encontrar a interseção desses dois conjuntos, ou seja, todos os polinômios que pertencem tanto a quanto a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto U = a + b x + c x^2 + d x^3 in P3 mid a + b - c + 3 d = 0 . Ele é definido como:
Isso significa que qualquer polinômio em tem a forma , mas os coeficientes e precisam satisfazer a equação . Vamos guardar essa equação para usar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o conjunto W = p(x) in P3 mid p^prime(-1) = 0 :
p(x) = a + b x + c x^2 + d x^3 p^prime(x) = b + 2c x + 3d x^2
Aqui, p^prime(-1) = b + 2c(-1) + 3d(-1)^2 = b - 2c + 3d = 0 consiste em todos os polinômios de b - 2c + 3d = 0 cuja derivada avaliada em é zero. Vamos calcular a derivada geral de um polinômio em :
Queremos que , então substituímos por -1:
Então, a condição para é:

Passo 4

Agora, temos duas equações que os coeficientes devem satisfazer:
  1. b = 2c - 3d (do conjunto a + (2c - 3d) - c + 3d = 0 a + 2c - 3d - c + 3d = 0 a + c = 0 a = -c )
  2. a = -c b = 2c - 3d (do conjunto )
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e que satisfazem ambas as condições.
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em função de e :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que está ligado a e está ligado a e . Podemos escolher e como parâmetros livres.

Passo 5

Vamos expressar os polinômios que pertencem à interseção p(x) = a + b x + c x^2 + d x^3 p(x) = (-c) + (2c - 3d)x + c x^2 + d x^3 p(x) = -c + 2c x - 3d x + c x^2 + d x^3 usando os parâmetros livres p(x) = c(-1 + 2x + x^2) + d(-3x + x^3) e :
Podemos fatorar e :
Então, os polinômios na interseção são combinações lineares dos polinômios e .

Resposta

A interseção p(x) = c(-1 + 2x + x^2) + d(-3x + x^3), é o conjunto de todos os polinômios da forma
U cap W = , c(-1 + 2x + x^2) + d(-3x + x^3) mid c, d in R ,
onde e são números reais. Ou seja,

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