Sejam e dois subespaços vetoriais de . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de polinômios, e , que são subespaços vetoriais de (o espaço dos polinômios de grau até 3). Nosso objetivo é encontrar a interseção desses dois conjuntos, ou seja, todos os polinômios que pertencem tanto a quanto a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é definido como:
Isso significa que qualquer polinômio em tem a forma , mas os coeficientes e precisam satisfazer a equação . Vamos guardar essa equação para usar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o conjunto :
Aqui, consiste em todos os polinômios de cuja derivada avaliada em é zero. Vamos calcular a derivada geral de um polinômio em :
Queremos que , então substituímos por -1:
Então, a condição para é:
Passo 4
Agora, temos duas equações que os coeficientes devem satisfazer:
(do conjunto )
(do conjunto )
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e que satisfazem ambas as condições.
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em função de e :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que está ligado a e está ligado a e . Podemos escolher e como parâmetros livres.
Passo 5
Vamos expressar os polinômios que pertencem à interseção usando os parâmetros livres e :
Podemos fatorar e :
Então, os polinômios na interseção são combinações lineares dos polinômios e .
Resposta
A interseção é o conjunto de todos os polinômios da forma