Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função e usar essas informações para determinar as equações solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no espaço onde vamos trabalhar. Dada a função , queremos calcular :
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções desses eixos.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores serão usados para construir o plano tangente e a reta normal.
Passo 5
O plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado com a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal à superfície no ponto, que é dado pelo vetor gradiente no ponto. O vetor gradiente é:
No nosso caso:
Então, a reta normal passa pelo ponto e tem direção . A equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: