Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2 em (0, 1, f(0, 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função e usar essas informações para determinar as equações solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no espaço onde vamos trabalhar. Dada a função , queremos calcular :
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções desses eixos.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores serão usados para construir o plano tangente e a reta normal.

Passo 5

O plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado com a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal à superfície no ponto, que é dado pelo vetor gradiente no ponto. O vetor gradiente é:
No nosso caso:
Então, a reta normal passa pelo ponto e tem direção . A equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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