Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L^-1{1/(4 s^2 + 1)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de usando o Teorema 7.3. Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o Teorema 7.3. Geralmente, esse teorema nos fornece uma tabela ou uma relação específica para encontrar a transformada inversa de funções racionais em .

Passo 3

Observando a expressão , percebemos que ela se assemelha à forma da transformada de funções trigonométricas. Especificamente, sabemos que:

Passo 4

Comparando com a nossa expressão, queremos que o denominador seja igual a . Então, vamos ajustar a nossa fração:

Passo 5

Agora, percebemos que . Comparando com a fórmula da transformada de , vemos que:

Passo 6

No nosso caso, temos multiplicando , então podemos relacionar isso com a transformação inversa:

Passo 7

Sabemos que:
Então, aplicando isso ao nosso caso:

Passo 8

Voltando à nossa expressão inicial:

Resposta

A transformada inversa de é:

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