Seja o conjunto das permutações de (1 dotado da composição de permutações e , e os elementos de . Observe a seguir as composições e :
Complete a tábua dos produtos dos elementos de S3.
x circ y
I
e1
e2
e3
h
a
I
e1
e2
e2
e3
h
e3
a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para completarmos a táboa de produtos do conjunto , que é o conjunto de todas as permutações dos números 1, 2 e 3. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a parte de grupos e permutações. Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compô-las, ou seja, como aplicar uma após a outra para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as permutações de 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 que temos no enunciado:
1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 (a identidade, que não muda nada)
1 & 2 & 3 3 & 2 & 1
1 & 2 & 3 2 & 1 & 3
1 & 2 & 3 2 & 3 & 1
1 & 2 & 3 3 & 1 & 2
Cada permutação mostra como os elementos 1, 2 e 3 são rearranjados.
Passo 3
Vamos lembrar como funciona a composição de permutações. Se temos duas permutações e , a composição significa que primeiro aplicamos e depois . Ou seja, para cada elemento, vemos onde manda ele e depois onde manda o resultado.
Passo 4
Vamos começar preenchendo a linha da identidade . Compor qualquer permutação com não muda a permutação, porque não altera nada.
Então:
Vamos preencher esses valores na tabela:
Passo 5
Agora, vamos preencher as demais linhas começando por 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2. Já sabemos que 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 e conforme o enunciado.
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
(já que não muda nada)
: aplicar duas vezes.
Aplicando uma vez: , , .
Aplicando novamente: , , .
Então, .
: vamos aplicar primeiro e depois .
manda , , .
Depois, manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
Depois, manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 6
Vamos seguir preenchendo a tabela. Agora, vamos preencher a linha de 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1.
Sabemos que 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 (dado no enunciado).
Vamos calcular os outros produtos envolvendo 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2:
1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 (já que não muda nada)
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar duas vezes.
Primeiro manda , , .
Segundo manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 7
Agora, vamos preencher a linha de 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2.