Seja o conjunto das permutações de (1 dotado da composição de permutações e , e os elementos de . Observe a seguir as composições e :
Complete a tábua dos produtos dos elementos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para completarmos a táboa de produtos do conjunto , que é o conjunto de todas as permutações dos números 1, 2 e 3. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a parte de grupos e permutações. Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compô-las, ou seja, como aplicar uma após a outra para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações de que temos no enunciado:
  • (a identidade, que não muda nada)
Cada permutação mostra como os elementos 1, 2 e 3 são rearranjados.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona a composição de permutações. Se temos duas permutações e , a composição significa que primeiro aplicamos e depois . Ou seja, para cada elemento, vemos onde manda ele e depois onde manda o resultado.

Passo 4

Vamos começar preenchendo a linha da identidade . Compor qualquer permutação com não muda a permutação, porque não altera nada.
Então:
Vamos preencher esses valores na tabela:

Passo 5

Agora, vamos preencher as demais linhas começando por . Já sabemos que e conforme o enunciado.
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
  • (já que não muda nada)
  • : aplicar duas vezes.
    Aplicando uma vez: , , .
    Aplicando novamente: , , .
    Então, .
  • : vamos aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    Depois, manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    Depois, manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 6

Vamos seguir preenchendo a tabela. Agora, vamos preencher a linha de .
Sabemos que (dado no enunciado).
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
  • (já que não muda nada)
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 7

Agora, vamos preencher a linha de .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
  • (já que não muda nada)
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 8

Faltam agora preencher as linhas de e . Vamos começar com .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 9

Por fim, vamos preencher a linha de .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: , mas isso não faz sentido. Deve ter havido um erro.
    Vamos refazer:
    manda , , .
    manda , , .
    Então:
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Resposta

A tabela dos produtos dos elementos de completa fica assim:

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Mostre que os subgrupos de são e .
Determine a magnitude do momento da força em relação ao ponto . [Resposta: N.m]
Determine a magnitude do momento produzido pela força em relação ao eixo . [Resposta: