Seja o conjunto das permutações de (1 dotado da composição de permutações e , e os elementos de . Observe a seguir as composições e :
Complete a tábua dos produtos dos elementos de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para completarmos a táboa de produtos do conjunto , que é o conjunto de todas as permutações dos números 1, 2 e 3. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a parte de grupos e permutações. Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compô-las, ou seja, como aplicar uma após a outra para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as permutações de que temos no enunciado:
(a identidade, que não muda nada)
Cada permutação mostra como os elementos 1, 2 e 3 são rearranjados.
Passo 3
Vamos lembrar como funciona a composição de permutações. Se temos duas permutações e , a composição significa que primeiro aplicamos e depois . Ou seja, para cada elemento, vemos onde manda ele e depois onde manda o resultado.
Passo 4
Vamos começar preenchendo a linha da identidade . Compor qualquer permutação com não muda a permutação, porque não altera nada.
Então:
Vamos preencher esses valores na tabela:
Passo 5
Agora, vamos preencher as demais linhas começando por . Já sabemos que e conforme o enunciado.
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
(já que não muda nada)
: aplicar duas vezes.
Aplicando uma vez: , , .
Aplicando novamente: , , .
Então, .
: vamos aplicar primeiro e depois .
manda , , .
Depois, manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
Depois, manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 6
Vamos seguir preenchendo a tabela. Agora, vamos preencher a linha de .
Sabemos que (dado no enunciado).
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
(já que não muda nada)
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar duas vezes.
Primeiro manda , , .
Segundo manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 7
Agora, vamos preencher a linha de .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
(já que não muda nada)
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar duas vezes.
Primeiro manda , , .
Segundo manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 8
Faltam agora preencher as linhas de e . Vamos começar com .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar duas vezes.
Primeiro manda , , .
Segundo manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Passo 9
Por fim, vamos preencher a linha de .
Vamos calcular os produtos envolvendo :
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
: aplicar duas vezes.
Primeiro manda , , .
Segundo manda , , .
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: , mas isso não faz sentido. Deve ter havido um erro.
Vamos refazer:
manda , , .
manda , , .
Então:
Resultado: .
: aplicar primeiro e depois .
manda , , .
manda , , .
Resultado: .
Vamos preencher esses valores:
Resposta
A tabela dos produtos dos elementos de completa fica assim: