Seja S3 o conjunto das permutações de (1 lll1 & 2 & 3) dotado da composição circ de permutações e I=(lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3), e1= (lll1 & 2 & 3 1 & 3 & 2), e2=(lll1 & 2 & 3 3 & 2 & 1), e3=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3), h=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1) e a=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2) os elementos de S3. Observe a seguir as composições e1 circ h e h circ e1 :
e1 circ h=(l 1 2 3 2 3 2 3 1 1 )=(lll 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 )=e2, h circ e1=(l 1 1 2 2 3 1 3 2 3 )=(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 )=e3
Complete a tábua dos produtos dos elementos de S3.
x circ y I e1 e2 e3 h a
I
e1 e2
e2
e3
h e3
a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para completarmos a táboa de produtos do conjunto , que é o conjunto de todas as permutações dos números 1, 2 e 3. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a parte de grupos e permutações. Vamos precisar entender como funcionam as permutações e como compô-las, ou seja, como aplicar uma após a outra para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações de 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 que temos no enunciado:
  • 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 (a identidade, que não muda nada)
  • 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1
  • 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3
  • 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1
  • 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2
Cada permutação mostra como os elementos 1, 2 e 3 são rearranjados.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona a composição de permutações. Se temos duas permutações e , a composição significa que primeiro aplicamos e depois . Ou seja, para cada elemento, vemos onde manda ele e depois onde manda o resultado.

Passo 4

Vamos começar preenchendo a linha da identidade . Compor qualquer permutação com não muda a permutação, porque não altera nada.
Então:
Vamos preencher esses valores na tabela:

Passo 5

Agora, vamos preencher as demais linhas começando por 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2. Já sabemos que 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 e conforme o enunciado.
Vamos calcular os outros produtos envolvendo :
  • (já que não muda nada)
  • : aplicar duas vezes.
    Aplicando uma vez: , , .
    Aplicando novamente: , , .
    Então, .
  • : vamos aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    Depois, manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    Depois, manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 6

Vamos seguir preenchendo a tabela. Agora, vamos preencher a linha de 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1.
Sabemos que 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 (dado no enunciado).
Vamos calcular os outros produtos envolvendo 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2:
  • 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 (já que não muda nada)
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 7

Agora, vamos preencher a linha de 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2.
Vamos calcular os produtos envolvendo 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3:
  • 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 (já que 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 não muda nada)
  • 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1: aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 8

Faltam agora preencher as linhas de 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 e 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3. Vamos começar com 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1.
Vamos calcular os produtos envolvendo 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1:
  • 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Passo 9

Por fim, vamos preencher a linha de 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3.
Vamos calcular os produtos envolvendo 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3:
  • 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3
  • 1 & 2 & 3 1 & 1 & 3: aplicar 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 primeiro e depois 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3.
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar duas vezes.
    Primeiro manda , , .
    Segundo manda , , .
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: , mas isso não faz sentido. Deve ter havido um erro.
    Vamos refazer:
    manda , , .
    manda , , .
    Então:
    Resultado: .
  • : aplicar primeiro e depois .
    manda , , .
    manda , , .
    Resultado: .
Vamos preencher esses valores:

Resposta

A tabela dos produtos dos elementos de completa fica assim:

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