Mostre que os subgrupos de (Z,+) são 0, Z e n Z=n k ; k in Z, n in2,3,4, ldots.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o grupo dos números inteiros com a operação de adição, representado por (Z,+). A pergunta é para mostrar que os subgrupos desse grupo são:
  • O conjunto 0, que só tem o zero.
  • Todo o grupo Z.
  • E conjuntos do tipo nZ = n k; k in Z, onde n é um número inteiro positivo (2, 3, 4, etc.).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e as propriedades que ele deve satisfazer dentro de um grupo como (Z,+).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo de um grupo (G, ast) é um subconjunto H de G que também é um grupo com a mesma operação ast. Isso significa que:
  1. Fechamento: Se a e b estão em H, então a ast b também está em H.
  2. Elemento Neutro: O elemento neutro de G está em H.
  3. Inversos: Para todo a em H, o inverso de a (com respeito a ast) também está em H.
No nosso caso, a operação é a adição, então precisamos verificar esses três pontos para identificar os subgrupos de (Z,+).

Passo 3

Vamos começar identificando os subgrupos triviais:
  1. O conjunto 0: Esse é um subgrupo porque:
    • Está fechado: 0 + 0 = 0.
    • Contém o elemento neutro (que é 0).
    • O inverso de 0 é ele mesmo, que está no conjunto.
  2. Todo o grupo Z: Claro que todo grupo é um subgrupo de si mesmo, então Z é um subgrupo de (Z,+).
Agora, vamos analisar os conjuntos nZ.

Passo 4

Considere nZ = n k; k in Z, onde n é um inteiro positivo. Vamos verificar se nZ é um subgrupo:
  1. Fechamento: Se pegarmos dois elementos quaisquer de nZ, digamos n a e n b, a soma deles é n a + n b = n(a + b), que também pertence a nZ, já que a + b é um inteiro.
  2. Elemento Neutro: O 0 está em nZ porque n cdot 0 = 0.
  3. Inversos: Para qualquer elemento n k em nZ, o inverso é -n k = n (-k), que também pertence a nZ.
Então, nZ satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de (Z,+).

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que não existem outros subgrupos além de 0, Z e nZ para algum n >= 2.
Suponha que H seja um subgrupo de (Z,+) que não seja 0 nem todo Z. Então, há um menor número positivo n em H (já que os inteiros são bem ordenados). Vamos mostrar que H = nZ:
  1. Todo elemento em H deve ser múltiplo de n: Se m está em H, então m pode ser escrito como m = qn + r, onde 0 <= r < n. Mas como n é o menor positivo em H, r não pode ser outro elemento positivo em H, então r deve ser 0. Logo, m é múltiplo de n.
  2. Assim, H é exatamente nZ.
Portanto, qualquer subgrupo de (Z,+) é ou 0, ou Z, ou nZ para algum inteiro positivo n.

Resposta

Os subgrupos de (Z,+) são 0, Z e n Z para cada n in 2,3,4, ldots.

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