Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o grupo dos números inteiros com a operação de adição, representado por . A pergunta é para mostrar que os subgrupos desse grupo são:
O conjunto , que só tem o zero.
Todo o grupo .
E conjuntos do tipo , onde é um número inteiro positivo (2, 3, 4, etc.).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e as propriedades que ele deve satisfazer dentro de um grupo como .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo de um grupo é um subconjunto de que também é um grupo com a mesma operação . Isso significa que:
Fechamento: Se e estão em , então também está em .
Elemento Neutro: O elemento neutro de está em .
Inversos: Para todo em , o inverso de (com respeito a ) também está em .
No nosso caso, a operação é a adição, então precisamos verificar esses três pontos para identificar os subgrupos de .
Passo 3
Vamos começar identificando os subgrupos triviais:
O conjunto : Esse é um subgrupo porque:
Está fechado: .
Contém o elemento neutro (que é 0).
O inverso de 0 é ele mesmo, que está no conjunto.
Todo o grupo : Claro que todo grupo é um subgrupo de si mesmo, então é um subgrupo de .
Agora, vamos analisar os conjuntos .
Passo 4
Considere , onde é um inteiro positivo. Vamos verificar se é um subgrupo:
Fechamento: Se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , a soma deles é , que também pertence a , já que é um inteiro.
Elemento Neutro: O 0 está em porque .
Inversos: Para qualquer elemento em , o inverso é , que também pertence a .
Então, satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de .
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que não existem outros subgrupos além de , e para algum .
Suponha que seja um subgrupo de que não seja nem todo . Então, há um menor número positivo em (já que os inteiros são bem ordenados). Vamos mostrar que :
Todo elemento em deve ser múltiplo de : Se está em , então pode ser escrito como , onde . Mas como é o menor positivo em , não pode ser outro elemento positivo em , então deve ser 0. Logo, é múltiplo de .
Assim, é exatamente .
Portanto, qualquer subgrupo de é ou , ou , ou para algum inteiro positivo .