Mostre que os subgrupos de
são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o grupo dos números inteiros com a operação de adição, representado por
. A pergunta é para mostrar que os subgrupos desse grupo são:
- O conjunto
, que só tem o zero. - Todo o grupo
. - E conjuntos do tipo
, onde é um número inteiro positivo (2, 3, 4, etc.).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e as propriedades que ele deve satisfazer dentro de um grupo como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo de um grupo
é um subconjunto
de
que também é um grupo com a mesma operação
. Isso significa que:
- Fechamento: Se
e estão em , então também está em . - Elemento Neutro: O elemento neutro de
está em . - Inversos: Para todo
em , o inverso de (com respeito a ) também está em .
No nosso caso, a operação é a adição, então precisamos verificar esses três pontos para identificar os subgrupos de
.
Passo 3
Vamos começar identificando os subgrupos triviais:
-
O conjunto
: Esse é um subgrupo porque: - Está fechado:
. - Contém o elemento neutro (que é 0).
- O inverso de 0 é ele mesmo, que está no conjunto.
- Está fechado:
-
Todo o grupo
: Claro que todo grupo é um subgrupo de si mesmo, então é um subgrupo de .
Agora, vamos analisar os conjuntos
.
Passo 4
Considere
, onde
é um inteiro positivo. Vamos verificar se
é um subgrupo:
-
Fechamento: Se pegarmos dois elementos quaisquer de
, digamos e , a soma deles é , que também pertence a , já que é um inteiro. -
Elemento Neutro: O 0 está em
porque . -
Inversos: Para qualquer elemento
em , o inverso é , que também pertence a .
Então,
satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que não existem outros subgrupos além de
,
e
para algum
.
Suponha que
seja um subgrupo de
que não seja
nem todo
. Então, há um menor número positivo
em
(já que os inteiros são bem ordenados). Vamos mostrar que
:
-
Todo elemento em
deve ser múltiplo de : Se está em , então pode ser escrito como , onde . Mas como é o menor positivo em , não pode ser outro elemento positivo em , então deve ser 0. Logo, é múltiplo de . -
Assim,
é exatamente .
Portanto, qualquer subgrupo de
é ou
, ou
, ou
para algum inteiro positivo
.
Resposta
Os subgrupos de
são
,
e
para cada
.