Seja ( G cdot cdot ) um grupo. Mostre que cada g in G admite um único elemento inverso g^-1 in G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um grupo com uma operação, e a gente precisa mostrar que para cada elemento dentro desse grupo, existe um único elemento inverso em . Isso faz parte da teoria dos Grupos na matemática, que estuda conjuntos com uma operação que satisfaz certas regras. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades fundamentais de um grupo, como existência de identidade e inversos, e também provar que esse inverso é único.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as propriedades básicas de um grupo. Um grupo precisa satisfazer quatro axiomas:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer e em , a operação também deve estar em .
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, para todos em .
  3. Elemento identidade: Deve existir um elemento em tal que para todo em .
  4. Elemento inverso: Para cada elemento em , deve existir um elemento em tal que , onde é o elemento identidade.

Passo 3

Agora, vamos focar no que precisamos provar: a existência e a unicidade do inverso para cada elemento em . A existência já está garantida pelos axiomas do grupo, mas precisamos mostrar que esse inverso é único, ou seja, que não pode existir mais de um inverso para o mesmo elemento.

Passo 4

Vamos supor que existam dois inversos para g cdot g^-1 = e e g cdot h = e no grupo , digamos e , que satisfazem:
Queremos mostrar que .

Passo 5

Usando a propriedade associativa do grupo, podemos manipular as equações para provar que g^-1 = g^-1 cdot (g cdot h) :
Começamos com g^-1 = (g^-1 cdot g) cdot h (já que g^-1 = e cdot h é a identidade).
Substituímos g^-1 = h por :
Graças à associatividade:
Sabemos que :
E :

Passo 6

Chegamos à conclusão de que . Isso significa que não pode haver dois inversos diferentes para o mesmo elemento no grupo . Portanto, o inverso de cada elemento em um grupo é único.

Resposta

Assim, mostramos que para cada , existe um único elemento inverso em .

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