Seja (
) um grupo. Mostre que cada
admite um único elemento inverso
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um grupo
com uma operação, e a gente precisa mostrar que para cada elemento
dentro desse grupo, existe um único elemento inverso
em
. Isso faz parte da teoria dos Grupos na matemática, que estuda conjuntos com uma operação que satisfaz certas regras. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades fundamentais de um grupo, como existência de identidade e inversos, e também provar que esse inverso é único.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as propriedades básicas de um grupo. Um grupo
precisa satisfazer quatro axiomas:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer
e em , a operação também deve estar em . - Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja,
para todos em . - Elemento identidade: Deve existir um elemento
em tal que para todo em . - Elemento inverso: Para cada elemento
em , deve existir um elemento em tal que , onde é o elemento identidade.
Passo 3
Agora, vamos focar no que precisamos provar: a existência e a unicidade do inverso para cada elemento
em
. A existência já está garantida pelos axiomas do grupo, mas precisamos mostrar que esse inverso é único, ou seja, que não pode existir mais de um inverso para o mesmo elemento.
Passo 4
Vamos supor que existam dois inversos para
no grupo
, digamos
e
, que satisfazem:
Queremos mostrar que
.
Passo 5
Usando a propriedade associativa do grupo, podemos manipular as equações para provar que
:
Começamos com
(já que
é a identidade).
Substituímos
por
:
Graças à associatividade:
Sabemos que
:
E
:
Passo 6
Chegamos à conclusão de que
. Isso significa que não pode haver dois inversos diferentes para o mesmo elemento
no grupo
. Portanto, o inverso de cada elemento em um grupo é único.
Resposta
Assim, mostramos que para cada
, existe um único elemento inverso
em
.