(1.) Seja
. Sabendo-se que
, determinar
, sendo
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial, representada por
. A binomial é usada para modelar o número de sucessos em
tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade
de sucesso. Nos deram duas informações sobre
:
- Valor esperado:
- Variância:
Precisamos encontrar os valores de
e
, além de calcular
e
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas do valor esperado e da variância para uma distribuição binomial:
Nos foram dados
e
. Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações.
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos nas fórmulas:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas
e
. Vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Primeiro, da equação (1):
Agora, vamos substituir
na equação (2):
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação (1):
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
e
, onde
.
Primeiro, o valor esperado de
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, a variância de
:
Resposta
Descobrimos que
,
,
e
.