(1.) Seja X: B(n, p). Sabendo-se que E(X)=12 e VAR(X)=4, determinar n, p, E(Z) e VAR(Z), sendo Z=X-63.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial, representada por . A binomial é usada para modelar o número de sucessos em tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso. Nos deram duas informações sobre :
  • Valor esperado:
  • Variância:
Precisamos encontrar os valores de e , além de calcular e , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas do valor esperado e da variância para uma distribuição binomial:
E(X) = n p
VAR(X) = n p (1 - p)
Nos foram dados e . Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos nas fórmulas:
n p = 12 (1)
n p (1 - p) = 4 (2)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas e . Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Primeiro, da equação (1):
n = 12p
Agora, vamos substituir 12p cdot p (1 - p) = 4 na equação (2):
12 (1 - p) = 4
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para 12 (1 - p) = 4 :
1 - p = 412
1 - p = 13
p = 1 - 13 = 23
Então, .

Passo 6

Agora que temos n = 12p = 1223 = 12 times 32 = 18 , podemos encontrar usando a equação (1):
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular E(Z) = E(X - 63) = E(X) - 63 e E(Z) = 12 - 63 = 63 = 2 , onde .
Primeiro, o valor esperado de :
Substituindo :

Passo 8

Agora, a variância de VAR(Z) = VAR(X - 63) = (13)^2 VAR(X) = 19 times 4 = 49 :

Resposta

Descobrimos que , , e .

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