As variáveis aleatórias X e Y são independentes e têm as seguintes distribuições:
X P(X)
2 0,3
3 0,5
4 0,2
Y P(Y)
:—: :—:
1 0,2
2 0,8
Considerando a variável Z= =X cdot Y, construir a tabela da distribuição de Z, e usando a tabela, calcular E (Z) e VAR (Z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá duas variáveis aleatórias independentes, e , com suas distribuições de probabilidade. Queremos encontrar a distribuição da variável , e a partir dessa tabela, calcular a esperança matemática e a variância . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações de e para encontrar os valores que pode assumir. Como pode ser 2, 3 ou 4 e pode ser 1 ou 2, multiplicando essas possibilidades, temos:
  • Se e , então
  • Se e , então
  • Se e , então
  • Se e , então
  • Se e , então
  • Se e , então

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de . Como e são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
  • pode ocorrer de duas maneiras:
    • e :
    • e :
    • Então,

Passo 4

Vamos montar a tabela da distribuição de :
2 0,06
3 0,10
4 0,28
6 0,40
8 0,16

Passo 5

Agora, vamos calcular a esperança matemática E(Z) = sum (Z times P(Z)) = 2 times 0,06 + 3 times 0,10 + 4 times 0,28 + 6 times 0,40 + 8 times 0,16 . A esperança é a média ponderada dos valores de 2 times 0,06 = 0,12 , ou seja:
3 times 0,10 = 0,30
Calculando cada termo:
4 times 0,28 = 1,12
6 times 0,40 = 2,40
8 times 0,16 = 1,28
E(Z) = 0,12 + 0,30 + 1,12 + 2,40 + 1,28 = 5,22
Somando todos:

Passo 6

Para calcular a variância E(Z^2) = sum (Z^2 times P(Z)) = 2^2 times 0,06 + 3^2 times 0,10 + 4^2 times 0,28 + 6^2 times 0,40 + 8^2 times 0,16 , precisamos primeiro encontrar 2^2 times 0,06 = 4 times 0,06 = 0,24 , que é a esperança do quadrado de 3^2 times 0,10 = 9 times 0,10 = 0,90 :
4^2 times 0,28 = 16 times 0,28 = 4,48
Calculando cada termo:
6^2 times 0,40 = 36 times 0,40 = 14,40
8^2 times 0,16 = 64 times 0,16 = 10,24
E(Z^2) = 0,24 + 0,90 + 4,48 + 14,40 + 10,24 = 30,26
VAR(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 30,26 - (5,22)^2 = 30,26 - 27,26 = 3,00
Somando todos:
Agora, usamos a fórmula da variância:

Resposta

A tabela da distribuição de é:
2 0,06
3 0,10
4 0,28
6 0,40
8 0,16
A esperança matemática e a variância .

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