As variáveis aleatórias X e são independentes e têm as seguintes distribuições:
2
0,3
3
0,5
4
0,2
:—:
:—:
1
0,2
2
0,8
Considerando a variável , construir a tabela da distribuição de Z, e usando a tabela, calcular E (Z) e VAR (Z).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá duas variáveis aleatórias independentes, e , com suas distribuições de probabilidade. Queremos encontrar a distribuição da variável , e a partir dessa tabela, calcular a esperança matemática e a variância . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações de e para encontrar os valores que pode assumir. Como pode ser 2, 3 ou 4 e pode ser 1 ou 2, multiplicando essas possibilidades, temos:
Se e , então
Se e , então
Se e , então
Se e , então
Se e , então
Se e , então
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de . Como e são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
pode ocorrer de duas maneiras:
e :
e :
Então,
Passo 4
Vamos montar a tabela da distribuição de :
2
0,06
3
0,10
4
0,28
6
0,40
8
0,16
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança matemática . A esperança é a média ponderada dos valores de , ou seja:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 6
Para calcular a variância , precisamos primeiro encontrar , que é a esperança do quadrado de :