As variáveis aleatórias X e
são independentes e têm as seguintes distribuições:
|
|
---|---|
2 | 0,3 |
3 | 0,5 |
4 | 0,2 |
|
|
:—: | :—: |
1 | 0,2 |
2 | 0,8 |
Considerando a variável
, construir a tabela da distribuição de Z, e usando a tabela, calcular E (Z) e VAR (Z).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá duas variáveis aleatórias independentes,
e
, com suas distribuições de probabilidade. Queremos encontrar a distribuição da variável
, e a partir dessa tabela, calcular a esperança matemática
e a variância
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações de
e
para encontrar os valores que
pode assumir. Como
pode ser 2, 3 ou 4 e
pode ser 1 ou 2, multiplicando essas possibilidades, temos:
- Se
e , então - Se
e , então - Se
e , então - Se
e , então - Se
e , então - Se
e , então
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
. Como
e
são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
-
-
-
pode ocorrer de duas maneiras: -
e : -
e : - Então,
-
-
-
Passo 4
Vamos montar a tabela da distribuição de
:
|
|
---|---|
2 | 0,06 |
3 | 0,10 |
4 | 0,28 |
6 | 0,40 |
8 | 0,16 |
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança matemática
. A esperança é a média ponderada dos valores de
, ou seja:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 6
Para calcular a variância
, precisamos primeiro encontrar
, que é a esperança do quadrado de
:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Resposta
A tabela da distribuição de
é:
|
|
---|---|
2 | 0,06 |
3 | 0,10 |
4 | 0,28 |
6 | 0,40 |
8 | 0,16 |
A esperança matemática
e a variância
.