Seja a seguinte equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula quântica livre, V(x)=0, confinada no intervalo x in(0, L)
-hbar^22 m d^2 psid x^2=E psi
Usando a equação de Schrödinger dada acima, junto com as condições de fronteira psi(0)=psi(L)=0, justificar e explicar por que o valor da energia E não pode ser igual a zero (E neq 0) ?

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre, ou seja, sem potencial ( V(x) = 0), que está confinada entre x = 0 e x = L. A equação é:
-hbar^22 m d^2 psid x^2 = E psi
Além disso, temos as condições de fronteira psi(0) = psi(L) = 0. Nosso objetivo aqui é entender por que o valor da energia E não pode ser zero ( E neq 0). Para isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e aplicar as condições de fronteira para ver como elas influenciam o valor de E.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação de Schrödinger para facilitar a resolução. Dividindo ambos os lados por -hbar^22 m, temos:
d^2 psid x^2 = -2 m Ehbar^2 psi
Vamos chamar 2 m Ehbar^2 de k^2, onde k é uma constante relacionada ao número de onda. Assim, a equação fica:
d^2 psid x^2 + k^2 psi = 0

Passo 3

Essa é uma equação diferencial conhecida, cuja solução geral é uma combinação de funções senoidais. Portanto, a solução geral para psi(x) é:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Onde A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de fronteira.

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição de fronteira: psi(0) = 0. Substituindo x = 0 na solução geral:
psi(0) = A sin(0) + B cos(0) = 0
Sabemos que sin(0) = 0 e cos(0) = 1, então:
0 = 0 + B cdot 1 Rightarrow B = 0
Portanto, a função de onda simplifica para:
psi(x) = A sin(kx)

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição de fronteira: psi(L) = 0. Substituindo x = L na função de onda simplificada:
psi(L) = A sin(kL) = 0
Para que isso seja verdade, o argumento do seno deve ser múltiplo de pi:
kL = npi onde n é um número inteiro positivo éú
Isso nos dá:
k = npiL

Passo 6

Lembrando que k^2 = 2 m Ehbar^2, podemos substituir k para encontrar a energia E:
( npiL )^2 = 2 m Ehbar^2 Rightarrow E = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2

Passo 7

Observamos que a energia E depende de n^2. O menor valor possível para n é n = 1. Se tentarmos n = 0, a energia seria:
E = 0^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = 0
No entanto, isso levaria a uma função de onda psi(x) = A sin(0) = 0 em todo o intervalo, o que não é uma solução física válida, pois a função de onda não pode ser zero em todos os pontos (não normalizável).

Resposta

Portanto, o valor da energia E não pode ser zero ( E neq 0) porque isso resultaria em uma função de onda trivial e não física. A menor energia possível é para n = 1, garantindo que E > 0.

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Pela substituição da função de onda: psi(x)=A e^B x^2, na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
-hbar^22 m d^2 psid x^2+m w^2 x^22 psi=E psi
Determine o valor da constante B, e calcule o valor da energia E associada a este estado psi(x).