Seja a seguinte equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula quântica livre,
, confinada no intervalo
Usando a equação de Schrödinger dada acima, junto com as condições de fronteira
, justificar e explicar por que o valor da energia
não pode ser igual a zero
?
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre, ou seja, sem potencial (
), que está confinada entre
e
. A equação é:
Além disso, temos as condições de fronteira
. Nosso objetivo aqui é entender por que o valor da energia
não pode ser zero (
). Para isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e aplicar as condições de fronteira para ver como elas influenciam o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação de Schrödinger para facilitar a resolução. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Vamos chamar
de
, onde
é uma constante relacionada ao número de onda. Assim, a equação fica:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial conhecida, cuja solução geral é uma combinação de funções senoidais. Portanto, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de fronteira.
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição de fronteira:
. Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
e
, então:
Portanto, a função de onda simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição de fronteira:
. Substituindo
na função de onda simplificada:
Para que isso seja verdade, o argumento do seno deve ser múltiplo de
:
Isso nos dá:
Passo 6
Lembrando que
, podemos substituir
para encontrar a energia
:
Passo 7
Observamos que a energia
depende de
. O menor valor possível para
é
. Se tentarmos
, a energia seria:
No entanto, isso levaria a uma função de onda
em todo o intervalo, o que não é uma solução física válida, pois a função de onda não pode ser zero em todos os pontos (não normalizável).
Resposta
Portanto, o valor da energia
não pode ser zero (
) porque isso resultaria em uma função de onda trivial e não física. A menor energia possível é para
, garantindo que
.
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. Qual é a amplitude da onda resultante
em termos da amplitude comum
das duas ondas?
Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo
seja dada por:
Usando a condição de normalização da função de onda determine o valor da constante
.
Pela substituição da função de onda:
, na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
Determine o valor da constante
, e calcule o valor da energia
associada a este estado
.