Pela substituição da função de onda:
, na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
Determine o valor da constante
, e calcule o valor da energia
associada a este estado
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como a função de onda
se comporta para um oscilador harmônico. O enunciado nos dá a função de onda na forma
e pede para encontrar os valores da constante
e da energia
. Vamos precisar usar a equação de Schrödinger para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função de onda
em relação a
. A função é
, então:
E a segunda derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação de Schrödinger:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos com
e os termos constantes:
Para que essa igualdade seja válida para qualquer
, os coeficientes de
e de
devem ser iguais dos dois lados.
Passo 5
Primeiro, vamos igualar os coeficientes de
:
Resolvendo para
:
Então,
(Escolhemos o sinal negativo para garantir que a função de onda seja normalizável.)
Passo 6
Agora, vamos igualar os termos constantes:
Substituindo o valor de
:
Resposta
A constante
é
e a energia associada a esse estado é
.