Pela substituição da função de onda: psi(x)=A e^B x^2, na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
-hbar^22 m d^2 psid x^2+m w^2 x^22 psi=E psi
Determine o valor da constante B, e calcule o valor da energia E associada a este estado psi(x).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como a função de onda psi(x) se comporta para um oscilador harmônico. O enunciado nos dá a função de onda na forma psi(x) = A e^B x^2 e pede para encontrar os valores da constante B e da energia E. Vamos precisar usar a equação de Schrödinger para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função de onda psi(x) em relação a x. A função é psi(x) = A e^B x^2, então:
d psid x = A cdot 2 B x e^B x^2
E a segunda derivada fica:
d^2 psid x^2 = A cdot 2 B e^B x^2 + A cdot 4 B^2 x^2 e^B x^2 = 2 B psi(x) + 4 B^2 x^2 psi(x)

Passo 3

Agora, vamos substituir d^2 psid x^2 na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m (2 B psi + 4 B^2 x^2 psi) + m omega^2 x^22 psi = E psi
Vamos distribuir os termos:
-hbar^22 m cdot 2 B psi - hbar^22 m cdot 4 B^2 x^2 psi + m omega^2 x^22 psi = E psi
Simplificando:
-hbar^2 Bm psi - 2 hbar^2 B^2m x^2 psi + m omega^2 x^22 psi = E psi

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos com x^2 e os termos constantes:
(-hbar^2 Bm) psi + (-2 hbar^2 B^2m x^2 + m omega^2 x^22) psi = E psi
Para que essa igualdade seja válida para qualquer x, os coeficientes de psi e de x^2 psi devem ser iguais dos dois lados.

Passo 5

Primeiro, vamos igualar os coeficientes de x^2 psi:
-2 hbar^2 B^2m + m omega^22 = 0
Resolvendo para B:
-2 hbar^2 B^2m + m omega^22 = 0 Rightarrow 2 hbar^2 B^2m = m omega^22 Rightarrow B^2 = m^2 omega^24 hbar^2
Então,
B = -m omega2 hbar
(Escolhemos o sinal negativo para garantir que a função de onda seja normalizável.)

Passo 6

Agora, vamos igualar os termos constantes:
-hbar^2 Bm = E
Substituindo o valor de B:
E = -hbar^2m cdot (-m omega2 hbar) = hbar omega2

Resposta

A constante B é B = -m omega2 hbar e a energia associada a esse estado é E = hbar omega2.

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