Seja X sim N(900,642). retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar:
P(barX <= 894). Resp.: 0,0968

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 900 $ e variância $ \sigma^2 = 642 $. Queremos descobrir a probabilidade de que a média da nossa amostra, $ \bar{X} $, seja menor ou igual a 894, sabendo que tiramos uma amostra de tamanho 30. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição da média amostral e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral $ \bar{X} $. A média da distribuição da média amostral é a mesma da população, ou seja, $ \mu_{\bar{X}} = 900 $.
O desvio padrão da média amostral, também chamado de erro padrão, é calculado pela fórmula:
barX
onde $ \sigma = \sqrt{642} \approx 25.349 $ e $ n = 30 $.
Então:
mubarX = 900

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ \bar{X} \leq 894 $. Para isso, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do escore z:
barX <= 894
Substituindo os valores:
z = barX - mubarXsigmabarX

Passo 4

Com o valor de $ z $ calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z = -1.296 $ na tabela da distribuição normal padrão. Essa probabilidade representa a área à esquerda de $ z $ na curva normal.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
z

Resposta

A probabilidade de que a média amostral seja menor ou igual a 894 é aproximadamente 0,0968.

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