Seja A ⊆ B onde A e B tem n e m elementos respectivamente, mostre que B \ A tem m - n elementos. Deduza daqui que n <= m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos dois conjuntos, e , onde está contido em ( ). O conjunto tem elementos e o conjunto tem elementos. O que a gente precisa mostrar primeiro é que o conjunto (ou seja, os elementos que estão em mas não estão em ) tem exatamente elementos. Depois, a partir disso, vamos deduzir que é menor ou igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teoria dos Conjuntos, especialmente sobre a diferença de conjuntos e o princípio de contagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse conjunto contém todos os elementos que estão em mas não estão em . Como está dentro de , não há elementos em que não estejam em .

Passo 3

Sabemos que tem elementos e tem elementos. Como está dentro de , todos os elementos de também estão em .

Passo 4

Para encontrar quantos elementos estão em , que são os elementos únicos de que não estão em , basta subtrair o número de elementos de do número total de elementos de .
Matematicamente:
ú

Passo 5

Agora, já que subtraímos de para encontrar o número de elementos em , isso implica que tem que ser pelo menos igual a , porque não podemos ter um número de elementos negativo.
Portanto:

Resposta

O conjunto tem elementos e, consequentemente, .

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