Estabeleça uma bijeção entre e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente criar uma bijeção entre os números naturais, que a gente representa por , e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5. Isso está relacionado a funções e bijeções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como construir uma função que associe cada número natural a um número ímpar maior que 5 de forma única e completa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como transformar um número natural qualquer em um número ímpar maior que 5. Sabemos que os números ímpares seguem a sequência 1, 3, 5, 7, 9, e assim por diante. Mas como queremos começar a partir de 7, vamos ajustar essa sequência.

Passo 3

Vamos considerar uma função que pega um número natural e o transforma em um número ímpar maior que 5. Observando a sequência, podemos ver que 7 é o primeiro número ímpar maior que 5, e ele corresponde a . Daí, 9 corresponde a , 11 a , etc.

Passo 4

Para passar de para o número ímpar desejado, percebemos que a diferença entre cada termo consecutivo é 2. Então, começando em 7, a cada incremento de , adicionamos 2. Isso nos leva à fórmula . Vamos verificar:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    E assim por diante.

Passo 5

Agora, precisamos confirmar que essa função é uma bijeção, ou seja, que ela é injetora (cada elemento de mapeia para um único elemento no conjunto dos ímpares maiores que 5) e sobrejetora (todos os ímpares maiores que 5 são atingidos pela função).

Passo 6

Injetora: Se , então . Subtraindo 5 de ambos os lados, temos , e dividindo por 2, . Portanto, a função não mapeia dois números naturais diferentes para o mesmo número ímpar, sendo injetora.

Passo 7

Sobrejetora: Para qualquer ímpar maior que 5, digamos , podemos resolver para encontrar um em . Subtraindo 5 de ambos os lados: , então . Como é ímpar e maior que 5, é par e positiva, garantindo que seja um número natural. Assim, todo ímpar maior que 5 é atingido pela função, sendo sobrejetora.

Resposta

A bijeção entre e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5 é dada pela função:

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