Estabeleça uma bijeção entre
e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente criar uma bijeção entre os números naturais, que a gente representa por
, e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5. Isso está relacionado a funções e bijeções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como construir uma função que associe cada número natural a um número ímpar maior que 5 de forma única e completa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como transformar um número natural qualquer em um número ímpar maior que 5. Sabemos que os números ímpares seguem a sequência 1, 3, 5, 7, 9, e assim por diante. Mas como queremos começar a partir de 7, vamos ajustar essa sequência.
Passo 3
Vamos considerar uma função
que pega um número natural
e o transforma em um número ímpar maior que 5. Observando a sequência, podemos ver que 7 é o primeiro número ímpar maior que 5, e ele corresponde a
. Daí, 9 corresponde a
, 11 a
, etc.
Passo 4
Para passar de
para o número ímpar desejado, percebemos que a diferença entre cada termo consecutivo é 2. Então, começando em 7, a cada incremento de
, adicionamos 2. Isso nos leva à fórmula
. Vamos verificar:
- Para
: - Para
: - Para
:
E assim por diante.
Passo 5
Agora, precisamos confirmar que essa função é uma bijeção, ou seja, que ela é injetora (cada elemento de
mapeia para um único elemento no conjunto dos ímpares maiores que 5) e sobrejetora (todos os ímpares maiores que 5 são atingidos pela função).
Passo 6
Injetora: Se
, então
. Subtraindo 5 de ambos os lados, temos
, e dividindo por 2,
. Portanto, a função não mapeia dois números naturais diferentes para o mesmo número ímpar, sendo injetora.
Passo 7
Sobrejetora: Para qualquer ímpar maior que 5, digamos
, podemos resolver
para encontrar um
em
. Subtraindo 5 de ambos os lados:
, então
. Como
é ímpar e maior que 5,
é par e positiva, garantindo que
seja um número natural. Assim, todo ímpar maior que 5 é atingido pela função, sendo sobrejetora.
Resposta
A bijeção entre
e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5 é dada pela função:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento das curvas:
Seja
onde
e
tem
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos. Deduza daqui que
.
Suponha que existem funções injetivas
e
. Mostre que
é enumerável.
Identifique a curva definida pela função vetorial
;