Calcule o comprimento das curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
para
entre 0 e 8. Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas na Matemática, utilizando cálculo integral e derivadas.
Passo 2
Para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por
, usamos a fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas das funções
e
em relação a
. Vamos aplicar isso ao nosso problema.
Passo 3
Primeiro, identificamos as funções
e
da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas encontradas, substituímos na fórmula do comprimento:
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar o comprimento da curva.
Passo 5
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição simples. Vamos chamar
, então
. A integral fica:
Voltando para
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 8.
Passo 6
Calculando a integral definida:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Seja
onde
e
tem
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos. Deduza daqui que
.
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Estabeleça uma bijeção entre
e o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 5 .
Suponha que existem funções injetivas
e
. Mostre que
é enumerável.