Calcule o comprimento das curvas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por para entre 0 e 8. Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas na Matemática, utilizando cálculo integral e derivadas.

Passo 2

Para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas das funções e em relação a . Vamos aplicar isso ao nosso problema.

Passo 3

Primeiro, identificamos as funções e da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Com as derivadas encontradas, substituímos na fórmula do comprimento:
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar o comprimento da curva.

Passo 5

Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples. Vamos chamar , então . A integral fica:
Voltando para :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 8.

Passo 6

Calculando a integral definida:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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;
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