Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x cos (1x^2+y^2)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite e como utilizar o Teorema do Aperta para “colar” os limites usando desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função -1 <= cos(1x^2+y^2) <= 1 . Sabemos que a função cosseno, , sempre está entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Como a função cosseno está limitada, podemos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por -,|x| <= x cos(1x^2+y^2) <= |x| (que é sempre positivo ou zero) para obter:
Isso significa que o valor absoluto da nossa função está sempre abaixo ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos pensar no que acontece quando lim(x, y) (0,0) -,|x| = 0 e lim(x, y) (0,0) |x| = 0 se aproxima de . O valor de também tende a zero, já que está indo para zero. Portanto, temos:

Passo 5

Com isso, podemos aplicar o Teorema do Aperta (ou Teorema do Sanduíche), que nos diz que se uma função está “preso” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. No nosso caso:
-,|x| <= f(x, y) <= |x|
E já vimos que ambos os limites laterais são zero. Portanto, o limite de também é zero.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x cos (1x^2+y^2) = 0

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Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
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f(x, y)=x^2 y+x y^2x^2+y^2
Seja D subset R^n um conjunto não vazio e seja x0 in D^prime.
Assuma que f, g: D R são tais que
lim x x0 f(x)=L in R
e
lim x x0 g(x)=M in R
onde L.
Prove que existe de0 tal que se x in D e 0<|x-x0|, então
f(x)
Dica: Defina varepsilon=M-L2.
Prove que f é contínua em todo o R^2.