a) Utilize a série de potências da função h(x) = 1/(1-x), |x| < 1, para determinar uma representação em série de potências para g(t) = 4/(4+t), encontrando o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente vai usar séries de potências, especificamente a série da função para encontrar uma representação em série para . Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se pareça mais com . Observamos que:
Isso pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, percebemos que está na forma de com . Sabemos que a série de potências para é:

Passo 4

Substituindo por na série de , temos:

Passo 5

Simplificando a série, fica:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição . Aqui, , então:
Portanto, o raio de convergência é 4.

Resposta

A representação em série de potências para é:
Com raio de convergência igual a 4.

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