a) Utilize a série de potências da função , para determinar uma representação em série de potências para , encontrando o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente vai usar séries de potências, especificamente a série da função para encontrar uma representação em série para . Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se pareça mais com . Observamos que:
Isso pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, percebemos que está na forma de com . Sabemos que a série de potências para é:
Passo 4
Substituindo por na série de , temos:
Passo 5
Simplificando a série, fica:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição . Aqui, , então: