a) Utilize a série de potências da função , para determinar uma representação em série de potências para , encontrando o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente vai usar séries de potências, especificamente a série da função para encontrar uma representação em série para . Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se pareça mais com . Observamos que:
Isso pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, percebemos que está na forma de com . Sabemos que a série de potências para é:

Passo 4

Substituindo por na série de , temos:

Passo 5

Simplificando a série, fica:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição . Aqui, , então:
Portanto, o raio de convergência é 4.

Resposta

A representação em série de potências para é:
Com raio de convergência igual a 4.

Exercícios relacionados

Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( ) é divergente;
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas:
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( ) ;
b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de ;