Seja S a superficie paramétrica dada por r(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2), com u^2+v^2 <= 36.
Determinar o vetor normal partial rpartial u times partial rpartial v no pontc
P(3,4,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o vetor normal à superfície paramétrica no ponto . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente derivadas parciais e produto vetorial. Precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e depois fazer o produto cruzado dessas derivadas para achar o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que define a superfície r(u, v) = (u, v, raizu^2 + v^2), onde u^2 + v^2 <= 36 :
Esse é o nosso ponto de partida. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de partial rpartial u = (1, 0, uraizu^2 + v^2) em relação a partial rpartial v = (0, 1, vraizu^2 + v^2) :
E agora, a derivada de em relação a :
Essas duas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto partial rpartial u times partial rpartial v . Para isso, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais que calculamos:
Vamos calcular esse produto passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos identificar os componentes dos vetores:
partial rpartial u = (1, 0, uraizu^2 + v^2) e partial rpartial v = (0, 1, vraizu^2 + v^2)
O produto vetorial é dado por:
i & j & k 1 & 0 & uraizu^2 + v^2 0 & 1 & vraizu^2 + v^2
Calculando o determinante:
i(0 cdot vraizu^2 + v^2 - 1 cdot uraizu^2 + v^2) - j(1 cdot vraizu^2 + v^2 - 0 cdot uraizu^2 + v^2) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
Simplificando:
partial rpartial u times partial rpartial v = (-uraizu^2 + v^2, -vraizu^2 + v^2, 1)

Passo 6

Agora, precisamos avaliar esse vetor no ponto r(u, v) = (u, v, raizu^2 + v^2) = (3,4,5) . Primeiro, identificamos os valores de u = 3, v = 4, raiz3^2 + 4^2 = 5 e (-3raiz3^2 + 4^2, -4raiz3^2 + 4^2, 1) = (-35, -45, 1) que correspondem a esse ponto. Olhando para a função:
Isso nos dá:
Agora, substituímos e na expressão do vetor normal:

Resposta

O vetor normal à superfície boxed(-35, -45, 1) no ponto é:

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