Seja a superficie paramétrica dada por .
Determinar o vetor normal no pontc .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o vetor normal à superfície paramétrica no ponto . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente derivadas parciais e produto vetorial. Precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e depois fazer o produto cruzado dessas derivadas para achar o vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que define a superfície :
Esse é o nosso ponto de partida. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de em relação a :
E agora, a derivada de em relação a :
Essas duas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de e .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . Para isso, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais que calculamos:
Vamos calcular esse produto passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos identificar os componentes dos vetores:
partial rpartial u times partial rpartial v = (-uraizu^2 + v^2, -vraizu^2 + v^2, 1)
Passo 6
Agora, precisamos avaliar esse vetor no ponto r(u, v) = (u, v, raizu^2 + v^2) = (3,4,5) . Primeiro, identificamos os valores de u = 3, v = 4, raiz3^2 + 4^2 = 5 e (-3raiz3^2 + 4^2, -4raiz3^2 + 4^2, 1) = (-35, -45, 1) que correspondem a esse ponto. Olhando para a função:
Isso nos dá:
Agora, substituímos e na expressão do vetor normal:
Resposta
O vetor normal à superfície boxed(-35, -45, 1) no ponto é: