Calcule os seguintes limites: © (9 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo de limites e uso de séries de Taylor para aproximar funções perto de um ponto específico, no caso,
. Vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série de Taylor e simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão da série de Taylor da função cosseno em torno de
:
Para simplificar nosso cálculo, vamos considerar apenas os termos até
, já que estamos lidando com
e os termos de ordem superior tendem a zero mais rápido.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a expansão que encontramos. Primeiro, elevamos a série de Taylor de
ao cubo:
Vamos expandir esse cubo e manter os termos até
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir as expansões de
e
na expressão original do limite:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Passo 6
Finalmente, analisando o limite quando
, o termo
tende a zero. Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Encontre a primitiva mais geral da função.
.
Calcule
Calcule os seguintes limites: (b) (9 pontos)
Seja
a superficie paramétrica dada por
.
Determinar o vetor normal no pontc
.
Determinar o vetor normal