Calcule os seguintes limites: © (9 pontos) lim x 0 cos x-cos ^3 x3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 cos x-cos^3 x3 x^2. Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo de limites e uso de séries de Taylor para aproximar funções perto de um ponto específico, no caso, x = 0. Vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série de Taylor e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão da série de Taylor da função cosseno em torno de x = 0:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots
Para simplificar nosso cálculo, vamos considerar apenas os termos até x^4, já que estamos lidando com x 0 e os termos de ordem superior tendem a zero mais rápido.

Passo 3

Agora, vamos calcular cos^3 x usando a expansão que encontramos. Primeiro, elevamos a série de Taylor de cos x ao cubo:
cos^3 x = (1 - x^22 + x^424)^3
Vamos expandir esse cubo e manter os termos até x^4:
cos^3 x approx 1 - 3(x^22) + 3(x^22)^2 + termos de ordem superior
Simplificando:
cos^3 x approx 1 - 3x^22 + 3x^44

Passo 4

Agora, vamos substituir as expansões de cos x e cos^3 x na expressão original do limite:
cos x - cos^3 x3x^2 approx (1 - x^22 + x^424) - (1 - 3x^22 + 3x^44)3x^2
Simplificando o numerador:
1 - x^22 + x^424 - 1 + 3x^22 - 3x^44 = (-x^22 + 3x^22) + (x^424 - 3x^44) = x^2 - 17x^424

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
x^2 - 17x^4243x^2 = x^23x^2 - 17x^424 cdot 3x^2 = 13 - 17x^272

Passo 6

Finalmente, analisando o limite quando x 0, o termo 17x^272 tende a zero. Portanto, o limite fica:
lim x 0 cos x-cos^3 x3 x^2 = 13

Resposta

O limite é 13.

Exercícios relacionados

Encontre a primitiva mais geral da função.
f(x) = sen(x) / cos^2(x).
Calcule integral x^4 d xraizx^2-4
Calcule os seguintes limites: (b) (9 pontos) lim x -2 x^3-x^2-x+10x^2-4
Seja S a superficie paramétrica dada por r(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2), com u^2+v^2 <= 36.
Determinar o vetor normal partial rpartial u times partial rpartial v no pontc
P(3,4,5).