Calcule os seguintes limites: (b) (9 pontos) lim x -2 x^3-x^2-x+10x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x -2 x^3-x^2-x+10x^2-4. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver, vamos precisar conhecer como simplificar expressões algébricas e aplicar técnicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x = -2 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
(-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 10(-2)^2 - 4 = -8 - 4 + 2 + 104 - 4 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para continuar.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação 00, uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum. Vamos começar fatorando o denominador x^2 - 4:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Agora, precisamos fatorar o numerador x^3 - x^2 - x + 10. Para isso, vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a identificar possíveis fatores.

Passo 4

Testando x = 2 no numerador:
2^3 - 2^2 - 2 + 10 = 8 - 4 - 2 + 10 = 12 neq 0
Testando x = -2:
(-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 10 = -8 - 4 + 2 + 10 = 0
Como x = -2 é uma raiz, podemos fatorar o numerador como (x + 2) e outro polinômio de segundo grau. Vamos fazer a divisão polinomial:
x^3 - x^2 - x + 10 = (x + 2)(x^2 - 3x + 5)

Passo 5

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x + 2)(x^2 - 3x + 5)(x - 2)(x + 2)
Podemos cancelar o fator comum (x + 2):
x^2 - 3x + 5x - 2

Passo 6

Agora, conseguimos substituir x = -2 sem obter uma indeterminação:
(-2)^2 - 3(-2) + 5-2 - 2 = 4 + 6 + 5-4 = 15-4 = -154

Resposta

O limite é -154.

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