Seja uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em . Mostre que se em ,
para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas no domínio . Além disso, sabemos que o Laplaciano de , que é , é igual a zero em . A tarefa é mostrar que, para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, a seguinte igualdade vale:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e de superfície, e algumas identidades importantes como as Fórmulas de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que ela delimita. A fórmula geral é:
Nesse caso, queremos relacionar a integral de multiplicada por com uma integral dupla envolvendo .

Passo 3

Vamos manipular a expressão do lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Podemos reescrever isso como:
Agora, identificamos e para aplicar a Fórmula de Green.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Green, temos:
Substituindo e :

Passo 5

Calculando as derivadas dentro da integral dupla:
Portanto:

Passo 6

Observando os termos envolvendo , temos:
Como foi dado que em , esses termos desaparecem:

Passo 7

Portanto, juntando tudo, temos:
Isso mostra exatamente o que a questão nos pediu.

Resposta

A igualdade foi demonstrada utilizando a Fórmula de Green, resultando em:

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Calcule as seguintes integrais de linha: , é um círculo de raio e e são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule a integral
nos seguintes casos: é a região delimitada pela elipse .
Seja uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região no espaço. Mostre que o volume da região é dada por