Seja
uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. Mostre que se
em
,
para qualquer função contínua
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas no domínio
. Além disso, sabemos que o Laplaciano de
, que é
, é igual a zero em
. A tarefa é mostrar que, para qualquer função contínua
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, a seguinte igualdade vale:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e de superfície, e algumas identidades importantes como as Fórmulas de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Fórmula de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que ela delimita. A fórmula geral é:
Nesse caso, queremos relacionar a integral de
multiplicada por
com uma integral dupla envolvendo
.
Passo 3
Vamos manipular a expressão do lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Podemos reescrever isso como:
Agora, identificamos
e
para aplicar a Fórmula de Green.
Passo 4
Aplicando a Fórmula de Green, temos:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calculando as derivadas dentro da integral dupla:
Portanto:
Passo 6
Observando os termos envolvendo
, temos:
Como foi dado que
em
, esses termos desaparecem:
Passo 7
Portanto, juntando tudo, temos:
Isso mostra exatamente o que a questão nos pediu.
Resposta
A igualdade foi demonstrada utilizando a Fórmula de Green, resultando em:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha:
,
é um círculo de raio
e
e
são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule a integral
nos seguintes casos:
é a região delimitada pela elipse
.
Seja
uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região
no espaço. Mostre que o volume
da região
é dada por