Seja f: D subseteq R^2 R uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em D. Mostre que se De em D,
integralpartial D(fx d y-fy d x) g=integral duplaD(gx fx+gy fy) d x d y
para qualquer função contínua g: D subseteq R^2 R com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função integralpartial D(fx , dy - fy , dx) g = integral duplaD(gx fx + gy fy) dx , dy que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas no domínio . Além disso, sabemos que o Laplaciano de , que é , é igual a zero em . A tarefa é mostrar que, para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, a seguinte igualdade vale:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e de superfície, e algumas identidades importantes como as Fórmulas de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que ela delimita. A fórmula geral é:
ointpartial D (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Nesse caso, queremos relacionar a integral de multiplicada por com uma integral dupla envolvendo .

Passo 3

Vamos manipular a expressão do lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
integralpartial D(fx , dy - fy , dx) g
Podemos reescrever isso como:
integralpartial D ( g fx , dy - g fy , dx )
Agora, identificamos e para aplicar a Fórmula de Green.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Green, temos:
ointpartial D (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Substituindo ointpartial D (-g fy , dx + g fx , dy) = integral duplaD ( partial (g fx)partial x - partial (-g fy)partial y ) dx , dy e :

Passo 5

Calculando as derivadas dentro da integral dupla:
partial (g fx)partial x = gx fx + g fxx
partial (-g fy)partial y = -gy fy - g fyy
Portanto:
integral duplaD ( gx fx + g fxx + gy fy + g fyy ) dx , dy

Passo 6

Observando os termos envolvendo g fxx + g fyy = g (fxx + fyy) = g De, temos:
integral duplaD ( gx fx + gy fy ) dx , dy
Como foi dado que em , esses termos desaparecem:

Passo 7

Portanto, juntando tudo, temos:
integralpartial D(fx , dy - fy , dx) g = integral duplaD(gx fx + gy fy) dx , dy
Isso mostra exatamente o que a questão nos pediu.

Resposta

A igualdade foi demonstrada utilizando a Fórmula de Green, resultando em:
integralpartial D(fx , dy - fy , dx) g = integral duplaD(gx fx + gy fy) dx , dy

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