Seja a multiplicação pela matriz . Encontre
uma base do núcleo de T .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que é a multiplicação pela matriz . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo de , ou seja, encontrar todos os vetores que, quando multiplicados por , dão o vetor zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e a forma reduzida por linha. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que representa o núcleo de :
Isso significa que estamos procurando soluções para:
[
\left[\right]
\left[\right]
\left[\right]
]
Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema até encontrarmos as soluções. Vamos começar manipulando as equações para eliminar uma das variáveis.
Primeiro, podemos tentar eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Passo 5
Multiplicamos a equação 1 por 5 e subtraímos da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Agora temos uma nova equação:
çã
Passo 6
Fazemos o mesmo com a equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por 7 e subtraímos da equação 3:
Subtraindo da equação 3:
Interessante, obtemos a mesma equação que a Equação 4. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções e precisamos expressar as variáveis livres.
Passo 7
Vamos considerar como variável livre. A partir da Equação 4:
Agora, substituímos na Equação 1 para encontrar :
Passo 8
Agora, podemos expressar os vetores no núcleo em termos de . Seja , onde é um parâmetro real. Assim:
Podemos escrever o vetor como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo de é um múltiplo escalar desse vetor.
Resposta
Uma base do núcleo de é o conjunto formado pelo vetor