Seja a multiplicação pela matriz . Encontre
uma base do núcleo de T .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que é a multiplicação pela matriz . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo de , ou seja, encontrar todos os vetores que, quando multiplicados por , dão o vetor zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e a forma reduzida por linha. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que representa o núcleo de Ax = 0 : [ccc 1 & -1 & 3 5 & 6 & -4 7 & 4 & 2 ] [c x1 x2 x3 ] = [c 0 0 0 ]
Isso significa que estamos procurando soluções para:
[
\left[\right]
\left[\right]
\left[\right]
]
Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema até encontrarmos as soluções. Vamos começar manipulando as equações para eliminar uma das variáveis.
Primeiro, podemos tentar eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Passo 5
Multiplicamos a equação 1 por 5 e subtraímos da equação 2:
Agora, podemos expressar os vetores no núcleo em termos de x1 = -1411t, x2 = 1911t, x3 = t . Seja x = t [c -1411 1911 1 ] , onde é um parâmetro real. Assim:
Podemos escrever o vetor como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo de é um múltiplo escalar desse vetor.
Resposta
Uma base do núcleo de -dfrac1411 dfrac1911 1 é o conjunto formado pelo vetor