Em cada parte, encontre a equação característica da matriz e seus autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada e, a partir dela, descobrir os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos precisar lembrar como montar a equação característica e calcular os autovalores usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que temos:
A equação característica de uma matriz é dada por:
Aqui, representa os autovalores que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Passo 5
A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
A equação característica da matriz é e o autovalor é .