Em cada parte, encontre a equação característica da matriz e seus autovalores.
[cc10 & -9 4 & -2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada e, a partir dela, descobrir os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos precisar lembrar como montar a equação característica e calcular os autovalores usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que temos:
A = 10 & -9 4 & -2
A equação característica de uma matriz det(A - lambda I) = 0 é dada por:
Aqui, representa os autovalores que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 10 & -9 4 & -2 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 10 - lambda & -9 4 & -2 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (10 - lambda)(-2 - lambda) - (-9)(4)
Vamos expandir isso:
= (10 times -2) + (10 times -lambda) + (-lambda times -2) + (-lambda times -lambda) + 36
= (-20) + (-10lambda) + 2lambda + lambda^2 + 36
= lambda^2 - 8lambda + 16

Passo 5

A equação característica fica então:
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de lambda = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 times 1 times 162 times 1 = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4

Resposta

A equação característica da matriz é e o autovalor é .

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