Beleza, vamos resolver esse exercício de diagonalização de matrizes. No enunciado, a gente tem uma matriz e precisa encontrar uma matriz que a diagonalize. Isso envolve conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na álgebra linear. Basicamente, vamos precisar encontrar os autovalores de e, para cada um deles, achar um autovetor correspondente. Com esses autovetores, a gente monta a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante dessa matriz, obtemos o polinômio característico. Após simplificar, encontramos os autovalores:
Passo 3
Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Após resolver o sistema, encontramos o autovetor:
Para :
Resolvemos :
Após resolver, obtemos:
Para :
Resolvemos :
E o autovetor é:
Passo 4
Com os autovetores em mãos, agora montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
Passo 5
Para confirmar que realmente diagonaliza , podemos verificar se é uma matriz diagonal contendo os autovalores. Isso garante que encontramos a matriz correta.