Encontre uma matriz que diagonalize

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de diagonalização de matrizes. No enunciado, a gente tem uma matriz e precisa encontrar uma matriz que a diagonalize. Isso envolve conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na álgebra linear. Basicamente, vamos precisar encontrar os autovalores de e, para cada um deles, achar um autovetor correspondente. Com esses autovetores, a gente monta a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante dessa matriz, obtemos o polinômio característico. Após simplificar, encontramos os autovalores:

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Após resolver o sistema, encontramos o autovetor:
Para :
Resolvemos :
Após resolver, obtemos:
Para :
Resolvemos :
E o autovetor é:

Passo 4

Com os autovetores em mãos, agora montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:

Passo 5

Para confirmar que realmente diagonaliza , podemos verificar se é uma matriz diagonal contendo os autovalores. Isso garante que encontramos a matriz correta.

Resposta

A matriz que diagonaliza é:

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Considere a base de , em que e e seja a transformação linear tal que
Encontre uma fórmula para e use essa fórmula para obter .
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Em cada parte, encontre a equação característica da matriz e seus autovalores.
Seja a multiplicação pela matriz . Encontre
uma base do núcleo de T .