Beleza, vamos resolver esse exercício de diagonalização de matrizes. No enunciado, a gente tem uma matriz e precisa encontrar uma matriz que a diagonalize. Isso envolve conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na álgebra linear. Basicamente, vamos precisar encontrar os autovalores de e, para cada um deles, achar um autovetor correspondente. Com esses autovetores, a gente monta a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde lambda1 = 2, lambda2 = 3, lambda3 = 1 é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante dessa matriz, obtemos o polinômio característico. Após simplificar, encontramos os autovalores:
Passo 3
Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -3 & 4 & -2 -3 & 2 & 0 -3 & 1 & 1 v = 0 :
Resolvemos v1 = 2 3 1 :
-4 & 4 & -2 -3 & 1 & 0 -3 & 1 & 0 v = 0
Após resolver o sistema, encontramos o autovetor:
v2 = 1 1 1
Para 0 & 4 & -2 -3 & 3 & 0 -3 & 1 & 2 v = 0 :
Resolvemos v3 = 1 12 1 :
Após resolver, obtemos:
Para :
Resolvemos :
E o autovetor é:
Passo 4
Com os autovetores em mãos, agora montamos a matriz P = 2 & 1 & 1 3 & 1 & 12 1 & 1 & 1 colocando esses vetores como colunas:
Passo 5
Para confirmar que realmente diagonaliza , podemos verificar se é uma matriz diagonal contendo os autovalores. Isso garante que encontramos a matriz correta.
Resposta
A matriz P = 2 & 1 & 1 3 & 1 & 12 1 & 1 & 1 que diagonaliza é: