Sejam T: R^2 R^2 e S: R^3 R^2 transformações lineares. Se [T]=(cc1 & 2 -1 & 3) e [S]=(ccc1 & 0 & -1 2 & 1 & 1), ache (T circ S)(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas transformações lineares: [T] = 1 & 2 -1 & 3, [S] = 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 que vai de para e que vai de para . As matrizes dessas transformações são fornecidas:
Precisamos encontrar a composição , ou seja, aplicar primeiro e depois . Para isso, vamos multiplicar as matrizes desses operadores e depois aplicar a resultante ao vetor .

Passo 2

Primeiro, lembro que para compor duas transformações lineares, multiplicamos suas matrizes na ordem inversa da aplicação. Então, para [T] = 1 & 2 -1 & 3, [S] = 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 , calculamos .
Vamos multiplicar:
A multiplicação de uma matriz por uma resulta em uma matriz .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
[T][S] = 1 cdot 1 + 2 cdot 2 & 1 cdot 0 + 2 cdot 1 & 1 cdot (-1) + 2 cdot 1 -1 cdot 1 + 3 cdot 2 & -1 cdot 0 + 3 cdot 1 & -1 cdot (-1) + 3 cdot 1
Calculando cada entrada:
1 + 4 & 0 + 2 & -1 + 2 -1 + 6 & 0 + 3 & 1 + 3 = 5 & 2 & 1 5 & 3 & 4

Resposta

A transformação composta (T circ S)(x, y, z) = 5 & 2 & 1 5 & 3 & 4 x y z = 5x + 2y + z 5x + 3y + 4z é dada por:

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Ex. 2. Simplifique:
(j) (y+3)(2 y-7)+y(y-6);
Seja T: P2 P2 a transformação linear dada por T(p(x))=x cdot p^prime(x)+p^prime prime(x) (derivadas): Encontre a matriz [T]beta^beta que representa T na base beta=1, x, x^2.
(a) (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2);
Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa: T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y, x-2 y).