Achar o menor ângulo entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o menor ângulo entre dois planos. A gente vai trabalhar com geometria espacial, especificamente com ângulos entre planos. Para isso, vamos precisar usar as normais dos planos e uma fórmula que relaciona essas normais com o cosseno do ângulo entre os planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as normais de cada plano. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano. Olhando as equações dos planos:
As normais são dadas pelos coeficientes de
,
e
. Então:
Normal de
:
Normal de :
Normal de
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o cosseno do ângulo
entre os planos com as normais dos planos:
Aqui,
é o produto escalar das duas normais, e
e
são os módulos (comprimentos) dessas normais.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Em seguida, calculamos os módulos das normais:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco-cosseno:
Calculando isso, temos:
Resposta
O menor ângulo entre os planos
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: c)
Encontrar, a partir da equação dada do plano
, suas intersecções sobre os eixos, em cada uma das alíneas. Construir a figura. d)
Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
Seja
dada por
(a) Encontre
a matriz de
em relação as bases canônicas.