Achar o menor ângulo entre os planos pi1: 4 x-5 y+3 z-1=0 e pi2: x-4 y-z+8=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o menor ângulo entre dois planos. A gente vai trabalhar com geometria espacial, especificamente com ângulos entre planos. Para isso, vamos precisar usar as normais dos planos e uma fórmula que relaciona essas normais com o cosseno do ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as normais de cada plano. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano. Olhando as equações dos planos:
pi1: 4x - 5y + 3z - 1 = 0
pi2: x - 4y - z + 8 = 0
As normais são dadas pelos coeficientes de x, y e z. Então:
Normal de pi1: n1 = lang<= 4, -5, 3 rang<=
Normal de pi2: n2 = lang<= 1, -4, -1 rang<=

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o cosseno do ângulo theta entre os planos com as normais dos planos:
cos theta = |n1 cdot n2||n1| cdot |n2|
Aqui, n1 cdot n2 é o produto escalar das duas normais, e |n1| e |n2| são os módulos (comprimentos) dessas normais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (4)(1) + (-5)(-4) + (3)(-1) = 4 + 20 - 3 = 21

Passo 5

Em seguida, calculamos os módulos das normais:
|n1| = raiz4^2 + (-5)^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2
|n2| = raiz1^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 16 + 1 = raiz18 = 3raiz2

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = |21|5raiz2 cdot 3raiz2 = 2115 cdot 2 = 2130 = 710

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco-cosseno:
theta = arccos(710)
Calculando isso, temos:
theta approx 45,57^circ

Resposta

O menor ângulo entre os planos pi1 e pi2 é aproximadamente 45,57^circ.

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