Achar o menor ângulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o menor ângulo entre dois planos. A gente vai trabalhar com geometria espacial, especificamente com ângulos entre planos. Para isso, vamos precisar usar as normais dos planos e uma fórmula que relaciona essas normais com o cosseno do ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as normais de cada plano. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano. Olhando as equações dos planos:

As normais são dadas pelos coeficientes de , e . Então:
Normal de :
Normal de :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o cosseno do ângulo entre os planos com as normais dos planos:
Aqui, é o produto escalar das duas normais, e e são os módulos (comprimentos) dessas normais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Em seguida, calculamos os módulos das normais:

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:

Passo 7

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco-cosseno:
Calculando isso, temos:

Resposta

O menor ângulo entre os planos e é aproximadamente .

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